CUATRO OPERACIONES - MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN
CUATRO OPERACIONES
Las cuatro operaciones fundamentales son:
Suma (adición); Resta (sustracción); Multiplicación
(producto) y División (cociente).
MULTIPLICACION
M + M +…..+ M = P
“M” veces
La multiplicación en Z, que utiliza el operador x, es la operación mediante
la cual se asigna a dos números enteros a
y b denominados factores un único
número entero p, llamado producto de
a y b.
a x b =
p
|
a = multiplicando
b = multiplicador
p = producto
AXIOMAS PARA LA MULTIPLICACIÓN
Clausura: El producto de dos números enteros es también un número entero.
Conmutativa: Al cambiar el orden de los factores el producto no se altera.
Asociativa: El producto de tres o más números enteros no varía al agrupar los
factores de dos en dos.
Elemento neutro o identidad: El único elemento del conjunto de números enteros que multiplicado con
otro número entero a da como resultado el mismo número a es 1.
Cancelación multiplicativa: Sean a, b, c en Z.
Si: ac = bc
c ≠ 0 → a = b
Distributiva: Para a, b y c
Z, se cumple:
a(b + c) = ab + ac
Uniformidad. Multiplicando
miembro a miembro varias igualdades, da como resultado otra igualdad.
a
= b x
m
= n
Modulativa: Existe uno
y sólo un elemento que se denota por 1 (denominado elemento neutro
multiplicativo o módulo de la multiplicación) tal que siempre se cumple:
a x 1 = 1 x a = a
Determinación
de la cantidad de cifras de un producto:
I) Método General: La cantidad de cifras de un producto
de “n” factores será máxima cuando sea igual a la suma de las cantidades de
cifras de cada factor y como mínimo dicha suma disminuida en (n-1)
Ejemplo 1: cuatro números enteros en sistema
decimal tienen 6, 8, 4 y 5 cifras respectivamente.
Hallar el # de cifras máximo y mínimo que puede
tener su producto.
# de factores = 4
# de cifras del 1er numero = 6
# de cifras del 2do numero = 8
# de cifras del 3er numero = 4
# de cifras del 4to numero = 5
Máximo = 6 + 8 + 4 + 5 = 23 cifras
Mínimo = 23 – (4 – 1) = 20 cifras
II)
Cuando se multipliquen potencias enteras de números enteros se procederá del
modo siguiente como alternativa al método general:
- Para determinar el máximo número de cifras
de su producto se suma todos los productos parciales de los exponentes por sus
respectivas cantidades de cifras.
- Para determinar la menor cantidad de cifras que acepta
el producto, al máximo número de cifras se le sustraerá la suma de los
exponentes de las potencias aumentándose la unidad.
Ejemplo 2: Dos números enteros escritos en el
sistema decimal tienen 5 y 8 cifras respectivamente. Hallar el número de cifras
máximas y mínimas que tendrá el producto del cuadrado del primero por el cubo
del segundo.
1er número (m) tiene 5 cifras
2dor número (n) tiene 8 cifras
- Se pide las cifras máximas y mínimas del producto de m2
y n3:
Máximo = 2(5) + 3(8) = 34
Mínimo = 34 – (2 + 3) + 1 = 30
MULTIPLICACION
EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACION
1º. Se ordena en forma vertical el multiplicando y el multiplicador
2437
x
Para la cifra de orden 1 del multiplicador:
* 5 x 3 = 15 →15 = 2 x 7 +
1;Queda
1, lleva 2
* 5 x 4 + 2 = 22 →22 = 3 x
7 + 1;Queda 1, lleva 3
* 5 x 2 + 3= 13 →13 = 1 x
7 + 6;Queda 6, lleva 1
1er producto parcial: 16117
Para la cifra de orden 2 del multiplicador:
* 6 x 3 = 18 →18 = 2 x 7 +
4;Queda
4, lleva 2
* 6 x 4 + 2 = 26 →26 = 3 x
7 + 5;Queda 5, lleva 3
* 6 x 2 + 3= 15 →15 = 1 x
7 + 1;Queda 1, lleva 1
2do producto parcial: 11547
2437
x
16117
11547
DIVISION
Dado los números naturales D y d que son ≠ 0 se llama cociente
de D y d. Se denota
, si al número natural q, si existe tal
que D = dq
La división es una operación aritmética inversa a la
multiplicación que tiene por objeto en dadas 2 cantidades llamadas dividendo y
divisor, hallar una tercera cantidad llamada cociente que ponga en manifiesto
las veces que el dividendo contiene al divisor.
PARÁMETROS
D = Dividendo
d = Divisor
q = Cociente
por defecto
q` =
Cociente por exceso
r = Residuo
o resto por defecto
r` = Residuo o resto por exceso
CLASIFICACION
* División exacta: cuando no existe presencia de resto.
* División Inexacta: cuando existe presencia de resto y a
su vez se sub clasifican en:
- Defecto:
Exceso:
PROPIEDADES
* El residuo de una división entera es siempre menor que el divisor.
Residuo < Divisor
* Residuo máximo = divisor - 1
* Residuo mínimo = 1
* La suma del residuo por defecto y el residuo por exceso de una división
entera es igual al divisor.
r + r` = d
* Los cocientes por defecto y por exceso de una división son dos números
consecutivos.
q` - q = 1
Ejemplo 4: ¿Cuál es el mayor número entero que
al ser dividido por 50 se obtiene un resto que es el triple del cociente?
- Sea N el número:
N = 50q + r (I)
- Propiedad residuo < cociente:
r < 50 = 3q < 50 → q < 16,
Como N debe ser el mayor entero, entonces el cociente
también debe ser el mayor entero.
- Reemplazamos en (I):
N = 50q + 3q
N = 53(16) = 848
AXIOMAS
PARA LA DIVISION
Uniformidad: Si
se dividen miembro a miembro dos igualdades (con la segunda igualdad diferente
de cero), el resultado es otra igualdad
a
= b
m
= n
Ley del Inverso Multiplicativo: Para todo
número N diferente de cero, existe uno y sólo un elemento denominado inverso multiplicativo
denotado por N-1 tal que:
N
x N-1 = 1
Ley Distributiva: El cociente
de una suma o resta entre un número es igual a la suma o resta de los cocientes
de cada uno de los términos entre el número dado
q
d = (a + b - c)
d
q =
+
-
ALTERACIONES
DE LA DIVISION EXACTA
Alternación
del cociente:
-
Si el dividendo de una división exacta se le multiplica (o divide) por un mismo
valor entero el cociente queda multiplicado (o dividido) por el mismo valor
entero.
- Si al divisor de una división inexacta se le multiplica
(o divide) por un valor entero, el cociente queda dividido (o multiplicado) por
el mismo valor entero
- Si al dividendo y al divisor de una
división exacta se les multiplica (o divide) por un mismo valor entero, el
cociente no varía (INALTERABILIDAD DEL COCIENTE)
ALTERACIONES
DE LA DIVISION INEXACTA
I) Por Adición de Unidades al Dividendo:
Al sumarle un cierto valor al dividendo este
mismo valor se suma al residuo. Si el nuevo residuo no es menor al divisor, se
divide entre él, el cociente que se obtenga, será el número de unidades que
aumente el cociente de la división inicial y el residuo que deja será el nuevo
residuo de la división.
4735 = 21(225) + 10 → q = 225
- Residuo (r) < divisor (d)
4735 + 10 = 21(225) + 10 + 10 → 20 < 21
- Residuo (r) > divisor (d)
4735 + 35 = 21(225) + 10 + 35 → 45 > 21
45 = 21(2) + 3 → r = 3 y q aumenta en 2
I) Por multiplicación de Unidades al Dividendo:
- Alterando el divisor: si se multiplica al dividendo y al
divisor por un mismo valor, el cociente no variará y el residuo queda
multiplicado con el mismo valor.
D = d(q) + r (r
< d)
D(a) = d(q)(a) + r(a) (ar < ad)
- Alterando el cociente: Si se multiplica al dividendo y al cociente por un mismo
valor, el residuo queda multiplicado por dicho valor.
46 = 7(6) + 1 → q = 225
- Residuo (r) < divisor (d)
46 x 3 = 7x3(6) + 1x30 → 3 < 6
- Residuo (r) > divisor (d)
46 x 8 = 7x8(6) + 1x8 → 8 > 6
r real = 1
CANTIDAD DE CIFRAS DE UN COCIENTE
La cantidad de cifras del cociente de dos números, puede
ser como mínimo igual a la diferencia entre las cantidades de cifras del
dividendo y divisor y como máximo la diferencia aumentada en una unidad.
q =
A tiene a cifras
B tiene b cifras
Máximo: a –
b + 1
Mínimo: a – b
CUANDO EL
NUMERADOR Y DENOMINADOR TIENEN VARIOS FACTORES
Se calcula la cantidad de cifras como máximo
y como minino, tanto del numerador y denominador, mediante la regla del
producto. Luego para hallar el máximo de cociente se compara el máximo del
numerador con el mínimo del denominador, análogamente para hallar el mínimo del
cociente se compara, el mínimo del numerador con el máximo del denominador,
ambos mediante la determinación de la cantidad de un cociente.
Ejemplo 5: Hallar las cifras de E si A, B y C tienen 12, 9, y 5 cifras respectivamente
E =
A2B3:
Máximo: 2(12) + 3(9) = 51
Mínimo: 51 – (2+3) + 1 = 47
C2:
Máximo: 4(5) = 20
Mínimo: 20 – (4) + 1 = 17
E:
Máximo: 51 – 17 + 1 = 35
Mínimo: 47 – 20 = 27
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. En un producto se aumenta 10 a los dos
factores y dicho producto queda aumentado en 1100. Hallar el producto si la
diferencia de los factores es 10.
a) 2375 b)
2425 c) 2475
d) 2525 e)
2475
2. La suma de dos números 89. Al dividir el
mayor número por el menor se obtiene 16 de cociente y el residuo máximo. Hallar
el número mayor.
a) 80 b)
81 c) 82
d) 83 e)
84
3. Al realizar una división se obtiene 4 de
cociente y 3 de residuo; pero si aumentamos en 2 al dividendo, el cociente
aumenta en 1 y el residuo en 0. Hallar el dividendo.
a) 22 b)
23 c) 24
d) 25 e)
26
4. Hallar el mínimo # de cifras de S;
sabiendo que M, N, P y Q tienen 5, 4, 7 y 4 cifras respectivamente.
S = M x N x P x Q
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e)
19
5. Hallar el mínimo # de cifras de S;
sabiendo que M, N, P y Q tienen 5, 4, 7 y 4 cifras respectivamente.
S = (M4 x N3 x P2 x Q)2
a) 78 b)
79 c) 80
d) 81 e)
82
6. El producto de dos números es 720 pero si
se añade 6 al multiplicando el producto será 900. Hallar el multiplicador.
a) 30 b)
34 c) 36
d) 30 e)
40
7. Hallar la suma de las cifras del número
que multiplicado por 2, 3, 4, 5, 6 y 7 resultan los numerales
,
,
,
,
y
.
Se sabe que a + b + c + d + e + f = 27
a) 6 b)
7 c) 8
d) 9 e)
10
8. En una división inexacta la suma del
dividendo y el divisor es 31 veces el resto; y su diferencia es 21 veces dicho
resto. Hallar el cociente.
a) 4 b)
5 c) 6
d) 7 e)
8
9. Hallar la suma de las cifras del menor
número entero que al multiplicarlo por 33 resulta un producto formado solo por
cifras 7
a) 21 b)
23 c) 24
d) 25 e)
28
10. En una multiplicación cuyo multiplicando
es 20, si se le disminuye 10 unidades al multiplicando y en 5 unidades al
multiplicando el producto no varía. Hallar el multiplicando.
a) 44 b)
45 c) 46
d) 48 e)
50
11.
Hallar el dividendo si en una división el residuo por defecto es 5 y por exceso
es 7; el cociente por defecto es la mitad del divisor
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