CUATRO OPERACIONES - SUMA RESTA
CUATRO OPERACIONES
Las cuatro operaciones fundamentales son:
Suma (adición); Resta (sustracción); Multiplicación
(producto) y División (cociente).
ADICION
La adición es una operación binaria, la cual es
representada mediante la ayuda del símbolo + y asigna a cada pareja de
elementos un tercer número como resultado de la operación.
Dados
dos números naturales a y b se llama suma de “a” y “b” y se denota (a + b) al
número natural S tal que a + b = S.
Se llama “adición” a la operación que hace corresponder a
ciertos pares de números naturales (a, b) su suma (a + b).
a + b =
S
|
S = S1
+ S2 + S3 +…..+ Sn
|
S = suma
a y b = sumandos
S1 + S2 + S3 +…..+ Sn
= sumandos
Al realizar la operación ADICION de dos o más
sumandos se efectúa de la siguiente forma:
462 +
87
783
Los sumandos se colocan uno debajo del otro, haciendo
coincidir las cifras de menor orden de cada sumando en una misma columna.
Para hallar el resultado, se suman los
valores de una misma columna de derecha a izquierda, colocando debajo de cada
una, la cifra de menor orden del resultado obtenido y las cifras restantes (si
hubiera) se suman a la siguiente columna.
AXIOMAS
PARA LA ADICION
Clausura: La suma de dos números enteros es también un número entero.
Conmutativa: Al cambiar el orden de los sumandos, la suma no se altera.
Asociativa: La suma de tres o más números enteros no varía al agrupar los sumandos de
dos en dos.
Elemento neutro (identidad aditiva): El único elemento del conjunto de números enteros que sumado con otro número
entero a da como resultado el mismo
número a es 0.
Opuesto o inverso aditivo: Para cada número entero a, existe un único número entero a tal que: a + (-a)
= 0
Uniformidad:
Si se suma miembro a miembro dos o más igualdades el resultado es otra
igualdad.
a
= b +
x
= y
Monotonía:
- Si sumamos miembro a miembro varias desigualdades del
mismo sentido, resulta otra desigualdad del mismo sentido.
a
> b +
x
> y
- Si sumamos miembro a miembro varias desigualdades de
sentidos opuestos, el resultado no se puede determinar.
a
> b +
x
< y
SUMATORIAS
(Σ):
PROPIEDADES:
-es k una constante:
SUMAS
NOTABLES:
1)
Suma en un PA:
S =
(
)n
a1 = 1er termino
an = último término
n = de términos
2)
Suma de los “n” primeros números enteros positivos:
Sn = 1 + 2 + 3 +….+ n =
3)
Suma de los “n” primeros números pares positivos:
Sp = 2 + 4 + 6 +….+ 2n = n(n + 1)
4)
Suma de los “n” primeros números impares positivos:
Si = 1 + 3 + 5 +….+ 2n - 1 = n2
5)
Suma de los “n” primeros números cuadrados perfectos (≠ 0):
Sn2 = 12 + 22
+ 32 +….+ n2 =
6)
Suma de los “n” primeros números cubos perfectos (≠ 0):
Sn3 = 13 + 23
+ 33 +….+ n3 = [
]2
7)
Suma de los “n” primeros productos de 2 números consecutivos:
S = 1x2 + 2x3 + 3x4 +….+ n(n + 1) = [
]2
8)
Suma de los “n” primeras potencias naturales de número A:
S = A0 + A1 + A2 + A3
+….+ An-1 =
9)
Sumas triangulares.
- Dadas las siguientes sumas:
S1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +……+ n
S2 = 2 + 3 + 4 + 5 +……+ n
S3 = 3 + 4 + 5 +……+ n
.
.
.
S1 + S2 +….+ Sn =
- Dadas las siguientes sumas:
S1 = 12 + 22 + 32
+ 42 +….+ n2
S2 = 22 + 32 + 42
+….+ n2
S3 = 32 + 42 +….+ n2
.
.
.
S1 + S2 +….+ Sn = [
]2
Ejemplo 1: Hallar X en la siguiente PA cuya
suma es 1680.
X; X + 6; X + 12;……; 7X
- Hallamos el # de términos, r = 6
n =
+ 1 → n
=
+ 1
n = X + 1
- Suma de una PA:
S = (
)n → 1680 = (
)(X+1)
3360 = 8X2 + 8X
420 = X(X+1)
X = 20
Ejemplo 2: Calcular S:
S = 1 x 5 + 2 x 6 + 3 x 7 +….+ 20 x 24
S = 1(1+4)+2(2+4)+3(3+4)+…+20(20+4)
S = 12+1x4+22+2x4+32+3x4+…+202+20x4
S = (12+22+32+…+202)+4(1+2+3+…+20)
S =
+ 4(
)
S = 2870 + 840 = 3710
ADICION
EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACION
- Todos los sumandos deben estar en el mismo sistema.
- Al adicionar, si el resultado es igual a la base o excede a esta, se
tendrá que agrupar en tantas unidades como indique la base.
- El número de grupos asi formado serán las unidades a llevar para el
siguiente orden y las unidades restantes quedarán en el orden respectivo.
Ejemplo 3: 2235 + 3245 +
4345
1er Orden:
3 + 4 + 4 = 11 = 2 x 5 + 1
Se
lleva 2; queda 1
2do Orden:
2 + (2 + 2 + 3) = 9 = 1 x 5 + 4
Se
lleva 1; queda 4
3er Orden:
1 + (2 + 3 + 4) = 10 = 2 x 5 + 0
Se
lleva 2; queda 0
ADICION
DE NUMERALES
Paso 1: Determinar la cantidad de numerales existen de
acuerdo a las condiciones dadas.
Paso 2: El cálculo de la suma de los números determinados
será:
- En las unidades: Se divide la cantidad de números entre
la cantidad de valores que toma la cifra de unidades y se multiplica por la
suma de los valores que toma la cifra de unidades.
- En forma análoga se hace para las decenas, centenas,
etc.
- Se aplica una suma abreviada a todos los resultados obtenidos
Ejemplo 4: Calcular la suma de todos los
números pares de 3 cifras que comienzan
con cifra impar.
- numeral de la forma:
- Valores en cada orden de las cifras:
1er orden (unidades): 0; 2; 4; 6; 8
2do orden (decenas) 0; 1; 2; 3;…; 9
3er orden (unidades): 1; 3; 5; 7; 9
1 0 0
3 1 2
.
.
.
5x10x5=250
- Hallamos la suma total:
Unidades: 250/5(2+4+6+8) = 1000
Decenas: 250/10(1+2+3+…+9) = 1125
Unidades: 250/5(1+3+5+7+9) = 1250
1000
+
1125
137250
Suma total = 137250
SUSTRACCION
La sustracción en Z, que utiliza el operador, es la operación inversa de la
adición mediante la cual se asigna a dos números enteros M y S denominados
minuendo y sustraendo respectivamente un único entero D denominado diferencia.
M - S = D
|
S + D = M
|
♦ En toda sustracción la suma de sus tres elementos es
igual a 2 veces el minuendo
M + S +
D = 2M
|
♦ En todo número de 2 cifras
; donde:
x – y =
n - 1
|
♦ En todo número de 3 cifras
; donde:
y = n – 1
x + z =
n – 1
a – c =
x + 1
|
♦ Si N =
♦ Si N =
; donde a > c
99(a
– c) =
|
x + z = 9; y = 9; a – c = x + 1
♦ Si N =
; donde a > d y b = c
x + w = 9; y = z = 9
♦ Si N =
; donde a > d y b ≠ c
x + y + z + w = 18
AXIOMAS
PARA LA SUSTRACCION
Clausura. En
naturales es restrictiva. En enteros, la diferencia de 2 números enteros es
otro número entero.
Ley del Inverso Aditivo. Si
se tiene un número “a” existirá uno y sólo un número (-a) tal que:
a + (-a) = 0
Uniformidad. Dadas 2
igualdades estas se podrán restar miembro a miembro, dando como resultado otra
igualdad.
a
= b -
x
= y
Monotonía:
- Si restamos miembro a miembro varias desigualdades del
mismo sentido, resulta otra desigualdad del mismo sentido.
a
> b -
x
> y
- Si restamos miembro a miembro varias desigualdades de
sentidos opuestos, el resultado no se puede determinar.
a
> b -
x
< y
SUSTRACCION
EN BASES NO DECIMALES
- Todos los numerales deben estar en el mismo sistema.
- Se colocan los numerales en forma vertical y se opera
orden por orden.
- Si la cifra del minuendo es menor ue la del sustraendo,
la cifra del orden superior le prestara una unidad y se debe tomar en cuenta
que esta unidad equivale a tantas unidades como indica la base.
Ejemplo 5: 431(7) – 252(7)
431(7) -
252(7)
1er Orden: No se puede restar 1 – 2; la cifra de segundo
orden le presta 1 unidad.
7 + 1 – 2 = 6 → queda 6
2do Orden: La nueva cifra será 2. No se puede restar 2 –
5; la cifra de tercer orden le presta 1 unidad.
7 + 2 – 5 = 4 → queda 4
3er Orden: La nueva cifra será 3.
3 – 2 = 1 → queda 1
431(7) -
252(7)
Ejemplo 6: Hallar el máximo valor de: x + y + z
- Para que x + y + z sea máximo → z = 6
1er Orden: 5 – y = 2 → y = 3
2do orden la diferencia es 6, por tanto la cifra 4 le
presta 1 unidad a la cifra de 2do orden en el minuendo.
7 + x – 4 = 6 → x = 3
x + y + z = 3 + 3 + 6 = 12
COMPLEMENTO
ARITMETICO (CA)
Es la cantidad que le falta a un número para ser igual a una unidad del
orden inmediato superior con respecto de su cifra de mayor orden.
Si el numeral N tiene k cifras en base 10
CA(N) =
10k - N
|
Si el numeral N tiene k cifras en base ≠ 10
CA(Nm)
=
|
CA (7452) = 104 – 7452 = 2548
CA (29) = 102 – 29 = 71
CA (25(7)) = 102(7) – 25(7)
= 42(7)
CA (143(6)) = 103(6)
– 143(6) = 413(6)
Forma práctica para calcular el CA
de un numeral:
Se ubica la cifra de menor orden y además, significativa,
dicha cifra se le quita a la base; las demás cifras (de orden mayor a la
anterior) se quitarán de la base disminuida en 1. Si el numeral terminase en
cierta cantidad de ceros su CA terminará en la misma cantidad de ceros.
El CA se determinara en la misma base.
9 10
- CA (4 5) = 55
9 9 9
9 10
- CA (7 4 5 0 6) = 25494
9 9 10
- CA (3 4 5 000) = 655000
7 7 8
-CA (4 3 2(8)) = 3468
8 8 8
9
- CA (5 3 4 6 00(9)) = 3543009
EXCEDENCIA
DE UN NÚMERO (EXC)
Se denomina excedencia de un número a la diferencia entre
el número dado y una unidad de su orden más elevada.
N =
→
N numeral de k cifras
EXC
[N] = N – 10k-1
|
EXC
[
|
Excedencia
de 278 = 278 – 100 = 178
Excedencia
de 3175 = 3175 – 1000 = 2175
Ejemplo 7: Hallar: m + n + p
CA (
)=
-
Forma práctica:
9 9 10
CA
(
)=
10 – 2p = 3p → p = 2
9 – (n + 3) = 2n → n = 2
9 – (m + 2) = m + 1 → m = 3
Comprobando:
CA (554) = 446
m + n + p = 3 + 2 + 2 = 7
Método
de suma y diferencia:
Se aplica cuando el problema nos da como dato la suma y
diferencia de cantidades desconocidas.
Cantidad
mayor =
Cantidad
menor =
|
Ejemplo 8: La suma de los términos de una
sustracción es 144 y la suma del minuendo más el sustraendo es 100. Hallar la
diferencia más la sustracción.
- Datos:
M + S + D = 144
M + S = 100
- Hallamos D:
100 + D = 144 → D
= 44
- Hallamos S + D:
M – S = D → M = S + D
M + S + D = 144 → M + M = 144 → M = 72
M = S + D = 72
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Con 3 cifras distintas y no nulas se forman todos los números posibles de
dos cifras diferentes. Hallar la razón entre la suma de todos estos números de
dos cifras y la suma de las 3 cifras dadas.
a) 20 b)
21 c) 22
d) 23 e)
24
2. La suma de términos de una sustracción es 600. Hallar
la suma de cifras de la diferencia sabiendo que el sustraendo es la quinta
parte del minuendo.
a) 2 b)
3 c) 4
d) 5 e)
6
3. Con todas las cifras del sistema decimal se forman 2
numerales de 5 cifras. Dichas cifras no deben repetirse en ambos numerales.
Hallar la suma de cifras de la diferencia entre el mayor numeral posible y el
menor numeral posible que se pueden formar.
a) 22 b)
23 c) 24
d) 25 e)
26
4. Hallar la suma de cifras de un numero de 2 cifras
donde el doble de la cifra de la decena restado de las unidades es mayor que 5 y
la diferencia de 14 veces la cifra de las unidades con la cifra de las decenas
es menor que 120.
a) 9 b)
8 c) 7
d) 12 e) 10
5. Hallar la suma de los cuadrados de los cifras en
sistema decimal de la suma de los complementos aritméticos de los números de 3
cifras en el sistema quinario.
a) 60 b)
50 c) 45
d) 40 e)
25
6. Hallar “S” en sistema decimal si sus 15 términos
forman una PA.
S = 12n + 21n + 30n +….+
210n
a) 645 b)
646 c) 648
d) 650 e)
652
7. Hallar
CA(
) + CA(
) +…+ CA(
) =
a) 35 b)
36 c) 38
d) 40 e)
45
8. Si: x > z
Hallar x2 + z2
a) 85 b)
84 c) 82
d) 80 e)
78
9. Hallar: a + b + c + x + y
a) 21 b)
22 c) 23
d) 24 e)
25
10. La suma de 2 enteros consecutivos es 400. Hallar la
suma de los 20 enteros consecutivos siguientes.
a) 740 b)
750 c) 760
d) 780 e)
800
Descarga
el archivo
Descargar el solucionario
muchas gracias
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