CONTEO DE NÚMEROS
CONTEO DE NUMEROS
Contar significa establecer una relación entre dos colecciones de objetos
de tal modo que a cada objeto de una colección se le haga corresponder uno de
otra colección.
Sucesión:
Se llama sucesión a toda aplicación del conjunto de números enteros
positivos en el conjunto de los números reales R. Sus elementos se representan:
a1; a2; a3;
a4;…..; an
Donde nos indican el primero, segundo, el tercero y así sucesivamente.
Si aparece el último término se dice término enésimo y la sucesión es
finita, si no aparece es infinita.
1.
Progresión o sucesión Aritmética:
Se denomina a una sucesión de números cuya diferencia
entre dos términos consecutivos es siempre la misma.
2. Progresión o
sucesión Geométrica:
Es una sucesión ordenada e infinita de números reales
donde cada término se obtiene multiplicando una cantidad constante al término
anterior.
SUCESION ARITMETICA DE PRIMER ORDEN O LINEAL (PA)
Se denomina a aquella sucesión donde la diferencia entre dos términos
consecutivos es siempre la misma; es decir cada término se obtiene agregando
una cantidad constante al término que le precede, a dicha cantidad se le llama
razón de la progresión aritmética.
+3 +3 +3
-7 -7 -7
a1; a2; a3; a4;…..;
an
r
r r
r = ak – ak-1
|
Razón (r): La diferencia de 2 términos consecutivos.
a1: 1er termino
an: ultimo termino
n: # de términos
PA
creciente → r > 0
PA decreciente → r < 0
Termino
enésimo (ak):
Se utiliza para hallar un término cualquiera de una PA.
ak = a1 + (k - 1)r
|
k ocupa el término que se desea calcular.
Ejemplo 1: Hallar el término 25 en la PA
siguiente:
17; 23;
26;…….
a1: 17
r: 3
k: 25
ak = a1 +
(k - 1)r → a25 = 17 + (25 - 1)3
a25 = 89
Número
de términos (n):
En una PA finita se puede calcular el sus términos:
n =
|
Ejemplo 2: Hallar los términos de la siguiente
PA
20; 31; 42; 53; 64;…….;
669
an = 669 a1
= 20 r = 11
n =
= 60
Número
de términos en una PA consecutiva:
n = an – a1 + 1
|
Ejemplo 3: Hallar los términos de la siguiente
PA
73; 74; 75; 76;…….; 181
an = 181 a1
= 73
n = 181 – 73 – 1 = 109
Cantidad
de cifras en una PA:
Pasos:
- Agrupar en grupos con la misma cantidad de cifras.
(Números de 2 cifras; números de 3 cifras; etc.)
- Calcular la cantidad de cifras de cada grupo y sumar
los resultados.
Ejemplo 4: ¿Cuántas cifras se emplearon al
escribir la siguiente PA?
36; 37; 38;……; 475; 476
●Números de 2 cifras = 36; 37; 38;….; 99
Numero de términos = 99 – 36 + 1 = 64
Cantidad de cifras = 64x2
= 128
●Números de 3 cifras = 100; 101; 102;….; 376
Numero de términos = 476 – 100 + 1 = 377
Cantidad de cifras = 377x3
= 1131
●Cantidad de cifras = 128 + 1131 = 1259
PAGINACION
Es un caso especial del cálculo de cantidad de cifras.
Al imprimir un libro, periódico, etc. antiguamente se utilizaba en la
tipografía por cada letra o símbolo un tipo de imprenta.
Dado: 1; 2; 3; 4;…….; (N – 1); N
k cifras
|
N = número de k cifras
Ejemplo 6: ¿Cuántas cifras se usa en la
numeración de un libro de 150 hojas?
- En un libro 1 hoja da 2 páginas
2x150 = 300 paginas
- k = 3
# de cifras = (300 + 1)3 – 111 = 792
Ejemplo 7: la cantidad de tipos de imprenta que se utilizan para enumerar
las páginas de un libro de 248 páginas.
Ojo: Paginas
hojas
- número de páginas = 248
- k = 3
# de cifras = (248 + 1)3 – 111 = 636
METODO COMBINATORIO
Principio de la Multiplicación: Si un evento ocurre de "n" maneras diferentes y otro evento
ocurre de "m" maneras diferentes, entonces ambos eventos pueden
ocurrir de (n m) formas diferentes.
Ejemplo 7: Hallar la cantidad de números de 2 cifras:
Los números son de la forma
10
11
12
13
.
.
.
98
99
Cantidad de números = 99
Ejemplo 8: ¿Cuántos números impares de tres cifras y que empiezan con 5 y 8
existen?
501
503
.
.
.
897
899
Cantidad de números = 100
PROBLEMAS
PROPUESTOS
1. Calcular el término vigésimo primero de la PA
5; 13; 21; 29;…..; 637
a) 160 b) 162 c) 163
d) 164 e) 165
2. Calcular el término trigésimo segundo de la PA que tiene 52 términos.
10;………..; 316
a) 195 b) 196 c) 197
d) 198 e) 199
3. Hallar la cantidad de números que hay con dos cifras impares en base 8.
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19
4. Hallar la cantidad de números capicúas de 3 cifras en base cuarta.
a) 12 b) 18 c) 25
d) 27 e) 36
5. Hallar los
números que existen de la forma:
a) 17 b) 18 c) 19
d) 20 e) 21
6. En una PA el cuarto término es 16 y el décimo término es 28. Hallar el
término 50
a) 105 b) 106 c) 108
d) 110 e) 112
7. ¿Cuántas cifras se emplearon para enumerar las páginas impares de un
libro de 950 páginas?
a) 1170 b) 1270 c) 1370
d) 1470 e) 1570
8. Se extraen las hojas que terminan en 4 de un libro, utilizando para ello
650 cifras.
¿Cuál de las páginas siguientes no puede ser la última página?
a) 1086 b) 1088 c) 1090
d) 1092 e) 1094
9. Hallar los números de 3 cifras que existan tal que su cifra de orden par
es mayor en 1 que su cifra posterior.
a) 80 b) 82 c) 83
d) 84 e) 85
10. Si en la siguiente PA se han utilizado 888 cifras, calcular a + b + c
1; 2; 3;…..;
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
11. En un libro de
páginas
se emplean
tipos
de imprenta. Hallar m + n + p
a) 22 b) 21 c) 20
d) 19 e) 18
12. Hallar todos los números pares entre 250 y 900 que no utilizan las
cifras 0 y 5 en su escritura.
a) 160 b) 166 c) 170
d) 172 e) 176
13. Hallar la cantidad de números diferentes y que sus cifras no deben
repetirse que se pueden formar con los números 5; 6; 7 y 8.
a) 58 b) 60 c) 62
d) 64 e) 66
14. Hallar el duodécimo término en la siguiente PA creciente
a) 282 b) 291 c) 303
d) 345 e) 355
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