SUCESIONES - SERIES
SUCESIONES – SERIES
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto
de enteros positivos, los elementos del rango de la sucesión son llamados
términos de la sucesión y se restringen a los números reales.
20; 25; 30; 35; 40; 45;……
↓ ↓
↓ ↓ ↓ ↓
a1; a2; a3; a4; a5; a6;…..
SUCESION
NUMERICA
Es un conjunto ordenado de números, en el que cada uno de
ellos tiene un orden designado como: a1 es el primero, a2
el segundo, a3 el tercero y así sucesivamente.
A = {an}
|
A = {a1; a2; a3; a4;…..;
an}
Términos de la sucesión
REPRESENTACION
DE UNA SUCESION
Método
Analítico: Cuando se tiene el término enésimo o
general, es decir se tiene la regla de correspondencia.
♦ {3n + 5} → 8; 11; 14; 17;……
a1 = 8; a2 = 11; a3 =
14; a4 = 17
♦ {
} →
;
;
;
;……
a1 =
; a2 =
; a3 =
; a4 =
Método
Recurrente: Cuando se especifica primero un punto de partida
y segundo la manera de calcular cada uno de los términos de la sucesión
partiendo de los que preceden.
Ejemplo 1: Hallar los 4 primeros términos de la
sucesión siguiente:
an+1 = 2an; a1 = 5 (n≥1)
♦ n = 1: a2 = 2a1
→ a2 = 10
♦ n = 2: a3 = 2a2 → a3 =
20
♦ n = 3: a4 = 2a3 → a4 =
40
a1 = 5; a2 = 10; a3 =
20; a4 = 40
5; 10; 20; 40;…..
Método
Descriptivo: Cuando se señala una característica de
sus términos o se señala los primeros términos.
Ejemplo 2:
♦ 4; 16; 64; 256;…..
Cada término de la sucesión es potencia de 4
♦ 44; 41; 38; 35; 32;…..
Cada término de la sucesión disminuye en 3
OJO: Hay secuencias que no tienen termino enésimo
definido, por ejemplo números primos.
2; 3; 5; 7; 11;…….
CLASES DE SUCESIONES
I) DE
ACUERDO A SU NUMERO DE TERMINOS
SUCESION
CONSTANTE: {a} es una sucesión constante si
cada si todos los términos tienen el mismo valor, pero a cada uno de ellos
considerándolos como términos de la sucesión y distinto de los demás.
{a} es sucesión constante si an = c; c
R.
n
N
♦ {4} → an = 4; 4
R.
n
N
a1 = 4; a2
= 4; a3 = 4; a4 = 4;……
SUCESION
FINITA: La cantidad de términos es limitada.
a1; a2; a3;
a4;…..; an
♦ 4; 7; 10: 13;….; 34
SUCESION
INFINITA: La cantidad de términos es limitada.
a1; a2; a3;
a4;…..; an;…
♦ 1; 1; 2: 3; 5;….
II) DE
ACUERDO CON LA RELACION DE SUS TERMINOS
SUCESION
CRECIENTE: Cuando cada uno de sus términos es
mayor que su predecesor.
a1 < a2 < a3
< a4 <…..< an < an+1 <…
♦ 2; 4; ; 6; 8; 10; 12;…..
SUCESION
DECRECIENTE: Cuando cada uno de sus
términos es menor que su predecesor.
a1 > a2 > a3
> a4 >…..> an > an+1 >…
♦ 42; 38; 34; 30; 26;…..
SUCESION
NO CRECIENTE:
an
an+1
n
N
a1 < a2
< a3 < a4 <…..< an <…
♦ 1; 1; 2; 3; 3; 4; 5; 5;…..
SUCESION
NO DECRECIENTE:
an
an+1
n
N
a1 > a2 >
a3 > a4 >…..> an >…
♦ 30; 30; 29; 28; 28; 27; 26; 26;…..
Ejemplo 3: Hallar los primeros 5 términos de la
siguiente sucesión {2n-1} donde n > 1
{2n-1} → 3; 5; 7; 9; 11;…..
Ejemplo 4: Hallar el trigésimo segundo término
de la siguiente sucesión {n2 + n}
Trigésimo segundo término = a32
{n2 + n} → 322 + 32 = 1056
Ejemplo 5: Determinar la forma del enésimo
término de: 2;
;
;
;
;…..
2;
;
;
;
;….. se puede
escribir como:
En los numeradores son potencias de 2 en forma creciente →2n
En los denominadores son números impares desde 1 en forma
creciente → 2n – 1
2;
;
;
;
;….. →
TIPOS DE SUCESIONES
(POLINOMICAS)
Se denomina sucesiones polinomiales a aquellas cuya
fórmula general tiene la forma de un polinomio en n.
SUCESION POLINOMIAL DE PRIMER ORDEN (SUCESION LINEAL)
Llamado también sucesión aritmética o progresión
aritmética (PA). En una PA se obtiene cada término (excepto el primero) sumando
al anterior otro número fijo.
El número fijo se llama diferencia común o razón (r) de
la PA.
a1; a2; a3;
a4;…..; an
an = An + B
|
Donde A y B son constantes.
♦ an = a1;
a2; a3; a4;…..
♦ 5 – 2n = 3; 1; -1; -3; -10;…..
Enésimo
término de una PA:
an = a1 + (n – 1)r
|
an = termino enésimo
a1 = primer termino
n = # de términos
r = razón de la sucesión aritmética
Número
de términos de una PA:
n =
|
an = termino enésimo
a1 = primer termino
n = # de términos
r = razón de la sucesión aritmética
Suma
de términos de una PA:
a1; a2;
a3; a4;…..; an
S = a1 + a2
+ a3 + a4 +…..+ an
S = (a1 + an)
|
S = suma de términos de una PA
an = termino enésimo
a1 = primer termino
n = # de términos
*Observación 1:
an = a1 + (n – 1)r
an = (a0 +
r) + (n – 1)r
an = a0
+ nr
|
a0 = termino anterior al primer término *Observación 2:
an = a0 +
nr
an = An + B
An + B = a0 + nr
A = r
|
a0 = termino anterior al primer término
NOTA:
*En toda PA se cumple:
a1; a2;
a3; a4;….. ; an
(a1 + an) =
(a2 + an-1) = (a3 + an-2) = ……
* Si la PA es impar:
a1; a2; a3;
a4;…..; an
ac = termino central
ac =
=
=
=
….
Ejemplo 6: Hallar la suma de los 10 primeros
términos de una sucesión aritmética cuyo quinto termino es 37 y su décimo
tercer término es 101.
Usamos:
an = a1 +
(n – 1)r
a5 = 37 = a1
+ (5 – 1)r
37 = a1 + 4r (I)
a13 = 101 = a1
+ (13 – 1)r
101 = a1 + 12r
(II)
- (II) – (I):
101 – 37 = [a1 + 12r] – [a1 + 4r]
64 = 8r → r = 8
- Reemplazando r en (I)
37 = a1 + 4(8)
a1 = 5
- Nos piden la suma de los 10 primeros términos:
a10 = a1 +
(n – 1)r
a10 = 5 + (10 – 1)8
a10 = 77
S = (a1 + an)
S = (a1 + a10)
S = (5 + 77)
S = 410
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