DIVISIBILIDAD I
DIVISIBILIDAD
NUMEROS
DIVISIBLES
Dos números enteros a y b son divisibles si:
c = entero
“a es divisible
por b” = a
b
entonces a
b es exacta con
cociente 0.
En la cual diremos que "a es
múltiplo de b" o
“b es divisor de a”
y lo denotaremos:
a =
o a = bk
Múltiplos
de un número natural:
nk donde (k
Z)
Múltiplos de n =
=
nk
Z = {0;
1;
2;
3;
4;….}
Números no divisibles:
a y b no son divisibles si la división de a por b es inexacta.
→
A = Bq + r
→ A =
r
37
7:
37 =
(5) + 2 → 37 = 35 + 2
37 =
(6)
- 5 → 37 = 42 – 5
Consideraciones
importantes:
● El cero (0) es múltiplo de todo número entero positivo.
● Todo número entero positivo es múltiplo de sí mismo.
● La unidad es divisor de todo número entero.
● El divisor es un número entero positivo
(módulo)
Ejemplo 1: ¿Cuántos números enteros positivos
menores o iguales que 100 son múltiplos de 7?
Múltiplo de 7 →
=
7k (k
Z+)
7k
100 → k
14,2
k = {1, 2, 3, 4,……, 14}
14 números
PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD
I) Sean a y b divisibles por n.
a + b es divisible por n →
+
=
a - b es divisible por n →
-
=
II) Si N =
(k
Z)
N
=
;
N =
III) Am
es divisible por n (n
Z)
(
)m =
IV) Todo
número es divisible por los factores naturales que contiene.
Los factores de 105 → 3, 5 y 7
105 es divisible por: 1, 3, 5 y 7
V) Todo
número es divisible por los productos de los factores naturales que contiene.
Los factores de 105 → 3, 5 y 7
105 es divisible por: 15, 21, 35 y 105
VI)
(
+
a)(
+ b)(
+ c) =
+ abc
(
+ 2)(
+ 3)
=
+
2x3 =
+
6
(
- 2)(
+ 3)
=
+
(-2)x3 =
-
6
VII)
Dado
n
◦
N =
+ d
N = 258 = 2 x 8 + 5 → N =
+
5
◦
N =
2 +
n
N = 14258 = 148 x 82 + 258
→ N =
+ 258
◦
N =
3 +
n
N = 314258 = 318 x 83 + 4258
→ N =
+
4258
Ejemplo 2: En un salón se agruparon a los alumnos por
docenas sobrando 7 alumnos. Si se quintuplican la cantidad de alumnos, hallar
cuanto faltaría para completar un grupo de 12.
Sea N la cantidad de alumnos
N = 12K + 7 (k
Z)
“hay k grupos de 12 y sobran 7”
N = 12K + 7 → N =
+
7
- Quintuplicamos N:
5N = 5(
+
7) → 5N = 5 x
+
5 x 7
5N =
+
35 → 5N =
+
(24 + 11)
5N =
+
(
+
11) → 5N =
+
11
- recordemos:
5N =
+
11
5N
=
-
1
Falta un alumno para obtener otro grupo más de 12.
Ejemplo 3: El
número de la forma
es siempre divisible de:
CONGRUENCIA
Si: a =
+
r ˄
b =
+
r
a
|
Dos números a y b son congruentes respecto al módulo n si al dividir a y b entre n se
obtiene el mismo resto(r)
◦ 17 y 32 son congruentes respecto al módulo 5
17 = 3(5) + 2 → 17 =
+ 2
32 = 6(5) + 2 → 32 =
+ 2
17
32(mod 5)
◦ 53 y 29 son congruentes respecto al módulo 8
53 = 6(8) + 5 → 53 =
+ 5
29 = 3(8) + 5 → 29 =
+ 5
53
29(mod 8)
Principio
de Arquímedes
Si: a x b =
b =
|
Donde “a” y “n” no tienen factores en común.
◦ 5N =
→
N =
◦ 10N =
→
2N =
→
N =
◦ 7N =
–
7 → N =
–
1
Propiedad:
MCM
Si: N =
; N =
; N =
N =
|
Si un número es múltiplo de varios módulos entonces será
múltiplo del MCM del número que contenga a dichos factores.
◦ 36 es
;
y
MCM (2; 6; 9) = 18 → 36 =
Si: N =
± r; N =
± r
N =
|
Binomio
de Newton
Es el desarrollo de binomio, aplicándose los criterios de divisibilidad y
permite hallar el residuo de manera inmediata.
● (
+ b)n =
+ bn
(
+
3)2 = (
+
3)(
+
3) =
+
3x3 =
+ 32
● (
- b)n =
+ bn; → si n es par
(
-
5)2 = (
-
5)(
- 5)
=
+ 5x5
=
+ 52
● (
- b)n =
- bn; → si n es impar
(
-
5)3 = (
-
5)(
-
5) (
-
5) =
-
5x5x5
=
–
53
Restos
potenciales
Son los diversos residuos que se obtienen al dividir las diferentes
potencias de una misma base entre un cierto número llamado módulo.
Ejemplo 5: Hallar los restos potenciales de 5
con respecto a 6.
Método
1: Ordenamos las potencias de 5
◦ 50 → 50 = 1; se escribe 0 + 1
0 es múltiplo de todo número
50 =
+
1
◦ 51 → 51 = 5; se escribe 0 + 5
0 es múltiplo de todo número
51 =
+
5
◦ 52 → 52 = 25; se escribe 51 x 51
Pero conocemos 51 =
+
5
(
+
5)(
+
5)
Binomio de Newton:
(
+
5)(
+
5) =
+
25 =
+
24 + 1 =
+
+
1
52 =
+
1
◦ 53 → 53 = 125; se escribe 51 x 51 x 51
Pero conocemos 51 =
+
5
(
+
5)(
+
5) (
+
5)
Binomio de Newton:
(
+
5)(
+
5)(
+
5) =
+
125 =
+
120 + 5
=
+
+
+
5
53 =
+
5
(Si continuamos se repetirán los restos potenciales)
50 =
+
1
51 =
+
5
52 =
+
1
53 =
+
5
54 =
+
1
55 =
+
5
⋮
Los restos potenciales de 5 con respecto al módulo 6 son:
1 y 5
Método
2: Ordenamos las potencias de 5
○ Para toda potencia 0 siempre el resto será 1
50 =
+
1
○ El resto anterior se multiplica por el valor dado (en
este caso por 5)
1 x 5 = 5 → 5 = 0 + 5 →
+
5
51 =
+
5
○ El resto anterior se multiplica por el valor dado (en
este caso por 5)
5 x 5 = 25 → 25 = 24 + 1 →
+
1
52 =
+
1
○ El resto anterior se multiplica por el valor dado (en
este caso por 5)
1 x 5 = 5 → 5 = 0 + 5 →
+
5
53 =
+
1
(Si continuamos se repetirán los restos potenciales)
50 =
+
1
51 =
+
5
52 =
+
1
53 =
+
5
54 =
+
1
55 =
+
5
⋮
Los restos potenciales de 5 con respecto al módulo 6 son:
1 y 5
GAUSSIANO
(G): Es la cantidad de restos
potenciales diferentes entre sí y de cero, que se repiten en forma ordenada y
periódica.
En el ejemplo anterior:
Los restos potenciales = 1 y 5
Gaussiano = 2
Ejemplo 4: Hallar el Gaussiano de 4 respecto al
módulo 9.
40 =
+
1
41 =
+
4
42 =
+
7
43 =
+
1
⋮
Los restos potenciales = 1, 4 y 7
Gaussiano = 3
Ejemplo 5: Calcular el residuo de dividir 5227
entre 11
- Encontramos el Gaussiano:
51 =
+
5
|
5
|
53 =
+
4
54 =
+
9
55 =
+ 1
Gaussiano = 5
- Realizamos la respectiva tabla:
- Calculamos:
5227 =
+
r
- Dividimos el exponente entre el Gaussiano
227 ÷
5
227 = 5(45) + 2
227 =
+
2
- En la tabla del Gaussiano:
- Reemplazamos:
5227 =
+
r
- Igualamos:
r = 3
El residuo de dividir 5227 entre 11 es 3
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Hallar la cantidad de números múltiplos de 15 que
existen entre 1 y 495
a) 30 b)
31 c) 32
d) 33 e)
34
2. Del problema anterior. ¿Cuantos números son divisibles
por 3?
a) 164 b)
165 c) 16
d) 168 e)
170
3. Si cierta cantidad de bolas se cuentan de 4 en 4, sobran 3 y si se cuentan de 10 en 10, sobran 9. Hallar
el número mínimo de bolas que se tiene.
a) 18 b)
19 c) 20
d) 21 e)
22
4. Calcular los números de 3 cifras que terminan en 3 y
son múltiplos de 7
a) 13 b)
14 c) 15
d) 12 e)
11
5. Para una elección entre 2 listas asisten entre 100 y
200 personas. Si los 2/7 de los asistentes votaron por la lista 1 y los 5/11 de
los asistentes votaron por la lista 2. ¿Cuántas personas no votaron por ninguna
lista?
a) 154 b)
104 c) 70
d) 44 e)
40
6. Se divide dos números entre 13 y se obtiene como
residuos 6 y 9. ¿Cuál sería el residuo por exceso al dividir la suma de dichos
números entre 13?
a) 8 b)
9 c) 10
d) 11 e)
12
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