DIVISIBILIDAD II
DIVISIBILIDAD II
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Son ciertas reglas prácticas que aplicados a las cifras de un numeral
permiten determinar su divisibilidad respecto a un cierto número.
DIVISIBILIDAD
POR 2:
Un número es divisible por 2 si termina en cifra 0 o par;
caso contrario nos dará el residuo.
e = cero o par
3076 =
; 3077
=
+
1
DIVISIBILIDAD
POR 4 = (22):
Un
numeral es divisible entre 4 = (22) sí y sólo sí el numeral formado
por sus 2 últimas cifras son ceros o es divisible entre 4.
25716 =
; 25700
=
; 26718
=
+
2
DIVISIBILIDAD
POR 8 = (23):
Un
numeral es divisible entre 8 = (23) sí y sólo sí el numeral formado
por sus 3 últimas cifras son ceros o es divisible entre 8.
13432 =
; 13000
=
; 13435
=
+
3
DIVISIBILIDAD
POR 3 o 9:
Un
numeral es divisible entre 3 o 9 sí y sólo sí la suma de sus cifras es
divisible entre 3 o 9.
a + b + c + d + e =
4212 =
; 4114
=
+
2
a + b + c + d + e =
3456 =
; 3461
=
+
5
DIVISIBILIDAD
POR 5:
Un
numeral es divisible entre 5 sí y sólo sí su última cifra es 0 ó 5.
e = cero o 5
2145 =
; 2140 =
; 2143 =
+
3
DIVISIBILIDAD
POR 25 = (52):
Un
numeral es divisible entre 25 = (52) sí y sólo sí las dos últimas
cifras es divisible entre 25.
7675 =
; 7665 =
+ 15
DIVISIBILIDAD
POR 125 = (53):
Un
numeral es divisible entre 125 = (53) sí y sólo sí las tres últimas
cifras es divisible entre 125.
8250 =
; 82314 =
+
64
DIVISIBILIDAD
POR 7:
Un
numeral es divisible entre 7 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a
partir de la derecha) por 1 ;3 ;2 ;-1
;-3 ;-2 ;1 ;3 ; ... y luego efectuar la suma algebraica resultante es divisible
entre 7.
e + 3d + 2c – b – 3a =
45549 = 9 + 3(4) + 2(5) – 5 – 3(4)
=
45553 = 3 + 3(5) + 2(5) – 5 – 3(4)
=
+ 4
DIVISIBILIDAD
POR 11:
Un numeral es divisible entre 11 si y sólo si
la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar y la suma de sus
cifras de orden par es divisible entre 11.
a + c + e – (b + d) =
90827 = 9 + 8 + 7 – (0 + 2)
=
90877 = 9 + 8 + 7 – (0 + 7)
=
+
6
DIVISIBILIDAD
POR 13:
Un numeral es divisible entre 13 si al
multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por 1 ;-3 ;-4 ;-1
;3 ;4 ;1 ;-3 ; -4 ; ... y luego efectuar la suma algebraica resultante es
divisible entre 13.
e - 3d - 4c – b + 3a =
1632709 = 9 - 0 - 28 – 2 + 9 + 24 + 1
=
1632704 = 4 - 0 - 28 – 2 + 9 + 24 + 1
=
=
+8
DIVISIBILIDAD
POR 33 0 99:
Un numeral es divisible por 33 o 99 si al descomponer en
bloques de 2 cifras a partir del menor orden y sumarlos el resultado sea
múltiplo de 33 o 99.
Ejemplo 1: Hallar “a”; si
=
22 + a =
(“a” debe ser de una cifra)
22 + a = 27 =
→
a = 5
Ejemplo 2: Hallar el residuo al dividir 1058762 por 9.
1058762 =
+
r
1 + 5 + 8 + 7 + 6 + 2 =
+
r
29 =
+
r → 27 + 2 =
+
r
r = 2
Ejemplo 3: Hallar el residuo al dividir
entre 3.
4 + X + 1 + X + 3 + X + 1 + 8 =
+
r
17 + 3X =
+
r → 15 + 2 +
=
+
r
r = 2
Ejemplo 4: Hallar la suma de valores de “a”; si
es divisible entre 7.
5a + 4 =
(“a” debe ser de una cifra)
a = {2; 9}
2 + 9 = 11
Ejemplo 5: Hallar la suma de valores de “a”; si
es divisible entre 13.
- 10 - 4a =
a = 4
DIVISIBILIDAD
POR (n + 1) EN BASE n:
Un numeral es divisible entre (n+1) si
al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por 1 ;-1 ;1
;-1 ;... y luego efectuar la suma algebraica resultante es divisible entre (n+1).
e - d + c – b + a =
DIVISIBILIDAD
POR (n - 1) EN BASE n:
Un numeral es divisible entre (n-1) si
al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por 1 ;1 ;...
y luego efectuar la suma algebraica resultante es divisible entre (n-1).
e + d + c + b + a =
ECUACIONES DIOFÁNTICAS:
Una ecuación diofantica se identifica cuando
todos sus términos (constantes y variables) son números enteros. Pueden ser de
dos, tres o más incógnitas e incluso mayores que el primer grado
Una de las formas más conocidas es:
Ax + By
= C
|
Donde:
Variables enteras: x, y
Valores enteros conocidos: A, B y C
Ecuaciones generales:
x = xo
+ Bt
y = yo
- At
|
t ∈
Z
Resolución
de una Ecuación Diofantica
Ejemplo 6: 34x + 38y = 250
Ax + By = C ≅ 34x + 38y = 250
1º
Se Simplifica al máximo la ecuación, dividiendo miembro a miembro entre el MCD
(A y B)
MCD (34; 38) = 2
17x + 19y = 125
(I)
2º
expresemos la ecuación en función del múltiplo del menor coeficiente
17x + 19y = 125
(el menor coeficiente es 17)
2(y – 3) =
→
y – 3 =
y =
+
3
3º
En particular elegimos el menor múltiplo positivo de
que es cero.
y =
+
3 → y0 = 0 + 3 → y0 = 3
4º
Se reemplaza en (I):
17x0 + 19(3) = 125
x0 = 4
5º
Ecuaciones generales:
x = 4 + 19t
y = 3 – 17t
t
|
- 2
|
- 1
|
0
|
1
|
2
|
⋯
|
x
|
- 34
|
- 15
|
4
|
23
|
42
|
⋯
|
y
|
37
|
20
|
3
|
- 14
|
- 31
|
⋯
|
Ejemplo 7: Con 161 soles se comprar 2 tipos de
cuadernos de 5 y 7 soles respectivamente. ¿Cuantos cuadernos se compran como
máximo?
- Recordar que en una ecuación diofántica las variables deben
ser enteras. En el problema como se trata de cuadernos, las variables deben ser
enteras.
- Sea:
x = # cuadernos de 5 soles
y = # cuadernos de 7 soles
Para que la cantidad de cuadernos sea máxima entonces x
> y
- Hallamos la ecuación diofántica:
5x + 7y = 161
1º
Se Simplifica al máximo la ecuación, dividiendo miembro a miembro entre el MCD
(A y B)
MCD (5; 7) = 1
5x + 7y = 161 (I)
2º
expresemos la ecuación en función del múltiplo del menor coeficiente
5x + 7y = 161 (el
menor coeficiente es 5)
2y – 1 =
3º
En particular elegimos el menor múltiplo positivo de
2y – 1 = 0 → y0 = ½ (no es posible pues no es entero)
2y – 1 = 5 → y0 = 3 (si es posible)
4º
Se reemplaza en (I):
5x0 + 7(3) = 161
x0 = 28
5º
Ecuaciones generales:
x = 28 + 7t
y = 3 – 5t
t
|
- 2
|
- 1
|
0
|
1
|
2
|
⋯
|
x
|
14
|
21
|
28
|
35
|
42
|
⋯
|
y
|
13
|
8
|
3
|
- 2
|
- 7
|
⋯
|
- Como hablamos de cuadernos: x, y deben ser enteros
positivos.
- Como nos piden comprar el máximo de cuadernos, la única
opción es cuando t = 0
# Cuadernos total = x + y = 28 + 3 = 31
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Hallar el menor número de 4 cifras que sea divisible
por 43 y que al invertir el orden de sus cifras sea divisible entre 9.
a) 1041 b)
1151 c) 1161
d) 1071 e) 1611
2.
Si m + n > 10 y n – m < 0; además:
Hallar
“m”
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
3. Dado:
=
; hallar el valor máximo de (m + n)
a) 10 b)
13 c) 15
d) 17 e)
19
4. Si
=
; hallar x + y
a) 13 b)
14 c) 15
d) 16 e)
17
5.
En una fiesta se observa que hay
de hombres y
mujeres, notándose que los tres quintos de los
hombres y los siete novenos de las mujeres no bailan. ¿Cuántas personas hay en
la fiesta?
a) 847 b)
814 c) 805
d) 747 e)
714
6.
es la suma de 83 números consecutivos. Hallar
“x”
a) 1 b)
2 c) 3
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