16 NÚMEROS PRIMOS

NÚMEROS PRIMOS

NUMEROS PRIMOS

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS

Al considerar los enteros positivos, observamos que la unidad es el único número que tiene un solo divisor, los demás números tienen dos o más divisores.

NÚMERO PRIMO: Es aquel número entero positivo que posee sólo dos divisores: la unidad y el mismo número.

“7 es un número primo debido a que tiene sólo dos divisores: 1 y 7”

Son números primos: 2; 3; 5; 7; 11; 13;......

NÚMERO COMPUESTO: Es aquel número entero positivo que tiene más de dos divisores.

“9 es un número compuesto debido a que tiene más de dos divisores: 1, 3 y 9”

NUMEROS PRIMOS RELATIVOS: Es aquella serie de números en la cual todos ellos admiten como único divisor común a la unidad; aunque que independientemente sean compuestos, también se llama coprimos.

4; 11; 21; 35

NUMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI 2 a 2):

Es toda serie de números primos relativos o absolutos, en la cual se cumple que tomando los números de 2 en 2, admiten como único divisor común a la unidad.

8 y 13 son PESI

11 y 13 son PESI

8 y 11 son PESI

“8; 11 y 13 son PESI de 2 a 2”

DIVISOR: Es aquel número entero y positivo que divide exactamente a otro número entero y positivo.

“Los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12”

DIVISOR PROPIO: Son todos los divisores de N, menores que N.

“Los divisores propios de 12 son: 1, 2, 3, 4 y 6”

PROPIEDADES

● El conjunto de los números primos es infinito, y no existe formula alguna para determinar todos los números primos.

● El 2 es el único número primo par.

● Los únicos números primos que son números consecutivos son el 2 y 3.

● Si N es un número primo mayor que 2, entonces N es  ± 1

3 =  - 1

37 =  + 1

● Si N es un número primo mayor que 3, entonces N es  ± 1

29 =  - 1

37 =  + 1

● Si un número primo absoluto no está contenido en un número compuesto, ambos son PESI.

●Dos números consecutivos siempre son PESI.

¿Cómo se determina si un número es primo o no?

Se divide al número entre cada uno de los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada aproximada. Si en ningún caso la división es exacta entonces el número es primo en caso contrario es compuesto (Criterio de la raíz cuadrada)

Ejemplo 1: ¿223 es primo?

1º    = 14,93…

2º  # Primos ≤ 14,93 = {2; 3; 5; 7; 11; 13}

3º  223 =  + 1; 223 =  + 1; 223 =  + 3

223 =  + 6; 223 =  + 3; 223 =  + 2

223 es número primo

Ejemplo 2: ¿221 es primo?

1º   = 14,86…

2º  # Primos ≤ 14,86 = {2; 3; 5; 7; 11; 13}

3º  221 =  + 1; 221 =  + 2; 221 =  + 1

221 =  + 4; 221 =  + 1; 221 =  

221 no es número primo

CRIBA DE ERASTOTENES

El método da a conocer los primeros números primos absolutos de la siguiente manera: Se colocan los números naturales consecutivos a excepción de la unidad y se procede a eliminar los múltiplos de 2 excepto el 2, todos los múltiplos de 3 excepto el 3 y así sucesivamente hasta eliminar los múltiplos de la raíz cuadrada aproximada del número excepto esta, luego los números que quedan serán los primeros primos absolutos.

Ejemplo 3: Hallar los números primos menores a 40.

- Graficamos los primeros 40 numeros enteros positivos

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40

Eliminamos los múltiplos de 2

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40

Como 3² < 40; eliminamos los múltiplos de 3

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40

Como 5² < 40; eliminamos los múltiplos de 5

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40

Como 7² > 40; los números primos menores de 40 son los no eliminados.

# Primos = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37}

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA

DESCOMPOSICION CANONICA

Llamado también Teorema de GAUSS; “Todo número entero positivo mayor que la unidad se puede expresar como la multiplicación indicada de sus divisores primos diferentes elevados para uno de ellos a exponente entero positivos”.

Esta representación es única y se le denomina como la descomposición canónica de dicho número.

N = ax x by x cz

N → número descompuesto canónicamente

a; b; c → números primos diferentes

x; y; z → números enteros diferentes

24 = 2x2x2x3 = 2³ x 3

3160 = 2x2x2x2x5x79 = 2³ x 5 x 79

Ejemplo 4: Hallar a + b + c + d; si

   =  x  x   está descompuesto en forma canónica.

Analizamos:

- Como esta en descomposición canónica:

; ;  → factores primos de 2 cifras

- Dando valores a b:

b = 0 →  no existe

b = 1 →  seria # de 2 cifras  ≠ #primo

b = 2 → es posible

b = 3 →  seria # de 2 cifras  ≠ #primo

b = 4 →  seria # de 2 cifras  ≠ #primo

b = 2 →   =  x  x   

- Dando valores a d:

d = 1 → 11 x 13 x 17 = 2431 no es # de 5 cifras

d = 2 →  = 21 no es # primo

d = 3 →  = 33 no es # primo

d = 4 → es posible

d = 5 → 51 x 53 x 57 = 154071 no es # de 5 cifras

 =  x  x  = 82861

a + b + c + d = 8 + 2 + 6 + 4 = 20

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO

TABLA DE DIVISORES:

- Sea 24 = 2³ x 3

Divisores de 2³ = {1; 2; 4; 8}

Divisores de 3 = {1; 3}

	1               3
1 2 4 8	1               3        2               6        4              12        8              24

Divisores de 24 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

24 tiene 8 divisores

CANTIDAD DE DIVISORES DE N (CD_N):

N = a^x x b^y x c^z

CDN = (x + 1)(y + 1)(z + 1)

CD₂₄ = (3 + 1)(1 + 1) = 8

DIVISORES SIMPLES (CD_simples):

Son aquellos divisores que a la vez son números simples.

CD_simples de 24 = 3 y son {1; 2; 3}

DIVISORES COMPUESTOS (CD_compuestos):

Son aquellos divisores que a la vez son números compuestos.

CD_compuestos de 24 = 8 y son {4; 6; 8; 12; 24}

DIVISORES PRIMOS (CD_primos):

Son aquellos divisores que a la vez son números primos.

CD_primos de 24 = 2 y son {2; 3}

DIVISORES PROPIOS (CD_propios):

Son todos los divisores de un número excepto el mismo número.

CD_propios de 24 = 7 y son {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12}

DIVISOR ELEMENTAL:

Es el menor divisor diferente de la unidad.

DE(24) = 2 y es {2}

CDN =  (CDsimples + CDcompuestos)
CDsimples =  (CDprimos + 1)

CDcompuestos =  (CDno primos - 1)

CDpropios =  (CDN - 1)

Ejemplo 5: Si N = 12^x+2 - 12^x tiene 108 divisores no primos. Hallar la descomposición canónica de N.

N = 12^x+2 - 12^x → N = 12^x12² – 12^x

N = 12^x(12² – 1) → N = 12^x(143)

N = (22^x)(3^x)(11)(13)    (I)

- Si: CD_N =  (CD_simples + CD_compuestos)  

CD_simples =  (CD_primos + 1) = 4 + 1 = 5

CD_compuestos =  (CD_{no primos} - 1) = 108 – 1 = 107

CD_N = 5 + 107 = 112

- De (I), Hallamos “x”:

N = (2^2x)(3^x)(11)(13)

CD_N = (2x + 1)(x + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 112

CD_N = (2x + 1)(x + 1) = 28 = 7(4) → x = 3

N = (2⁶)(3³)(11)(13)

SUMA DE DIVISORES DE N (SD_N):

Sea la división canónica de N:

N = a^x x b^y x c^z……

SDN = ( )( )( )……

600 = 2³ x 3 x 5² 

SD₍₆₀₀₎ = ( )( )( )

SD₍₆₀₀₎ = (15)(4)(31) = 1860

SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE N (SID_N):

SIDN =

SIDde N que sean múltiplo de a =

12 = 2² x 3

SD₁₂ = 28

SID₁₂ =  =  =

Ejemplo 6: Hallar la suma de las inversas de los divisores  de 400

SID_{de 400 que son múltiplo de 10} =  =

SD₄₀ = 90

SID_{de 400 que son múltiplo de 10} =  = 0,255

SUMA DE LAS POTENCIAS POSITIVAS DE LOS DIVISORES DE N (SDⁿ_N):

Sea la división canónica de N:

N = a^x x b^y x c^z……

SDnN = ( )( )( )……

PRODUCTO DE DIVISORES DE N (PD_N):

PDN =

CD(18) = 6

PD₁₈ =  = 18³ = 5832

PDde N que sean múltiplo de a =

Ejemplo 7: Hallar el producto de divisores de 360 que son  

PD_{de 360 que sean múltiplo de 12} =

 = CD(30) = 8

 = PD(30) = 30⁴

PD_{de 360 que sean múltiplo de 12} = 12⁸ x 30⁴

SUMA DE DIVISORES DE UN NÚMERO, SIENDO LOS DIVISORES MULTIPLOS DE ALGUN MODULO:

SD de N que sean    = m[SD( )]

Suma de divisores  del número 72:

SD _{de 72 que sean}    = 6[SD( )]

SD _{de 72 que sean}    = 6[SD(12)] = 6(28) = 168

CANTIDAD DE FORMAS DE DESCOMPONER “N” COMO EL PRODUCTO DE 2 FACTORES (F_N):

Si: CD_N es par

FN =

Si: CD_N es impar

FN =

CD(18) = 6 (par)

F₁₈ =  = 3

b

Ejemplo 8: ¿Cuántos rectángulos existen cuya área sea 36m²; si sus lados son números enteros?

a

 

a x b = 36m²

CD(36) = 9 (impar)

F₃₆ =  = 5

Existen 5 rectángulos

FUNCION DE EULER O INDICADOR DE UN NUMERO ENTERO POSITIVO (Φ_N):

El indicador de N es la cantidad de números enteros positivos PESI con N, que hay entre dos múltiplos consecutivos de N.

Otra forma es, el indicador de N es la cantidad de números enteros positivos menores o iguales que N, PESI con N.

Dado: N = a^x x b^y x c^z…..

ΦN = ax-1(a-1) by-1(b-1) cz-1(c-1)….

Sea N = 8 →  = {0; 8; 16;…}

0 1 2 3 4 5 6 7 8 → PESI con 8 = 4

8 9 10 11 12 13 14 15 16 → PESI con 8 = 4

16 17 18 19 20 21 22 7 24 → PESI con 8 = 4

8 = 2³

Φ₈ = 2²(2-1) = 4

Si N es primo:

ΦN = N - 1

Φ₅ = 5 – 1 = 4

Φ₁₁ = 11 – 1 = 10

Si N es primo y “x” ∈ a Z⁺:

Φ  = Nx – Nx- 1

Φ  = 2³ – 2² = 4

Φ  = 5² – 5¹ = 20

SUMA DE LOS NUMEROS ENTEROS MENORES  Y PESI CON N (S_N)

La suma de los enteros positivos menores o iguales de N y PESI con N; está dado por:

SN =

12 = 2² x 3

Φ₁₂ = 2¹(2-1)3⁰(3-1) = 4

SN =  = 24

DESCOMPOSICION CANONICA DEL FACTORIAL DE UN NÚMERO

Para hallar la descomposición canónica o parte del factorial de un número, es importante saber  la función máximo entero.

Función Máximo Entero:

[N] → Máximo entero de N

Es el conjunto de números enteros, se afirma que [N] es la parte entera de N

[3,2] = 3       [ ] = 1        [11,08] = 11

Aplicando Máximo Entero:

Exponente de P contenido en N¡=[ ]+[ ]+…+[ ]

Dónde: P^k ≤ N

Ejemplo 9: ¿Cuál será el exponente de 5 en la descomposición canónica de 100¡?

Exponente de 5 contenido en 100¡ = [ ]+[ ]

Exponente de 5 contenido en 100¡ = 20 + 4 = 24

TEOREMA DE EULER

Si p y q que son PESI donde q > 1; se cumple:

=  + 1

≡ 1(mod q)

Ejemplo 10: Hallar el residuo al dividir 239³⁶⁰ entre 19

239 y 360 son PESI

Teorema de Euler:

 =  + 1  →   = 18

219¹⁸ =  + 1 → (219¹⁸)²⁰ = (  + 1)²⁰ 

219³⁶⁰ =  + 1

Residuo = 1

TEOREMA DE WILSON

Si p es número primo:

(p – 1)! ≡ -1(mod p)

(p – 1)! =  - 1

(p – 2)! =  + 1

Si p es número primo y p ≥ 3:

(p – 3)! =  + ( )

Sea p = 5

(5 – 1)! =  – 1 → 24 =  – 1

(5 – 2)! =  + 1 → 6 =  + 1

 5 ≥ 3

(5 – 3)! =  + ( ) → 2 =  + 2

Ejemplo 11: Hallar el residuo al dividir 56! entre 59.

(p – 1)! = -1(mod p)

(59 – 1)! = -1(mod 59)

58! = -1(mod 59)

58 x 57 x 56! = -1(mod 59)

En términos de divisibilidad:

(  - 1) (  - 2) (  + r) + 1 =  

 + 2r + 1 =  

2r + 1 =

2r + 1 = 59

r = 29

Al dividir 56! Entre 59 se obtiene 29 de residuo

TEOREMA DE FERMAT

Si a y p son PESI; y p es número primo

=  + 1 ≡ 1(mod p)

4^3-1 =  + 1

Ejemplo 12: Hallar el residuo al dividir 86⁵⁰⁸ entre 19.

89 y 19 son PESI; y 19 es primo

86^19-1 ≡ 1(mod 19)

- Como 508 = 18(28) + 4

86¹⁸ ≡ 1(mod 19)

- se eleva a la 28

(86¹⁸)²⁸ ≡ 1²⁸ (mod 19)²⁸

86⁵⁰⁴ ≡ 1(mod 19)   (I)

- Como 86 =  + 10

86⁴ ≡ 10⁴ (mod 19)⁴  

86⁴ ≡ 10⁴ (mod 19)   (II)

- Multiplicamos (I) y (II)

86⁵⁰⁸ ≡ 10000(mod 19)

- pero 10000 =  + 10

86⁵⁰⁸ ≡ 6(mod 19)

 86⁵⁰⁸ ≡  + 6

Al dividir 86⁵⁰⁸ entre 19 se obtiene 6 de residuo

COMPLEMENTO TEORICO

NUMEROS PERFECTOS:

Son aquellos cuya suma de divisores propios es igual que el mismo número,

SDpropios de N  = N → N es perfecto

Divisores propios de 6 = {1; 2; 3}

1 + 2 + 3 = 6 → es perfecto

NUMEROS DEFECTUOSOS:

Son aquellos cuya suma de divisores propios es menor que el mismo número,

SDpropios dee N  < N → N es defectuoso

Divisores propios de 50 = {1; 2; 5; 10; 25}

1 + 2 + 5 + 10 + 25 < 50 →  es defectuoso

Divisores propios de 24 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12}

1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 > 24 → no es defectuoso

NUMEROS ABUNDANTES:

Son aquellos cuya suma de divisores propios es mayor que el mismo número,

SDpropios dee N  > N → N es abundante

Divisores propios de 24 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12}

1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 > 24 → es abundante

Divisores propios de 50 = {1; 2; 5; 10; 25}

1 + 2 + 5 + 10 + 25 < 50 → no es abundante

NUMEROS AMIGOS:

Dos números positivos son amigos solo si la suma de divisores propios de uno de ellos es igual al otro y viceversa.

A y B son números amigos si y solo si:

SDpropios de A = B ˄ SDpropios de B = A

SD_{propios de 220} = 1+2+4+5+10+20+22+44+55+110 = 284

SD_{propios de 284} = 1+2+4+71+142 = 220

220 y 284 son números amigos

NUMEROS SATURADOS:

Son los números con la mayor cantidad posible de divisores que cualquier otro numero menor.

CD(24) = 8

De la serie = {1; 2; 3;…..; 24}

24 es el número que tiene mayor cantidad de divisores

NUMEROS MIRP:

Son aquellos números primos que al ser invertidos el orden de sus cifras; siguen siendo números primos.

11 → 11 es número primo

13 → 31 es número primo

37 → 73 es número primo

NUMEROS MIRP-NONREP:

Son aquellos números MIRP que tienen cifras diferentes entre si

13 → 31 es número primo

17 → 71 es número primo

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si: 24; 42;  son PESI. Hallar la suma de los “x” posibles.

a) 15            b) 16            c) 17

d) 18            e) 19

2. Dado: N = 10⁵ x 12^k; hallar k² si N tiene 576 divisores positivos.

a) 4              b) 9              c) 16

d) 25            e) 36

3. El Producto de divisores de A = 2²¹⁰x3³¹⁵

Hallar CD_A

a) 72            b) 70            c) 65

d) 60            e) 54

4. Halle la suma de las cifras del menor número entero positivo que tiene 10 divisores positivos.

a) 9              b) 10            c) 11

d) 12            e) 13

5. La DC de N es (a^m)(bⁿ) y el producto de todos sus divisores positivos es 12¹⁵; Hallar a x b

a) 10            b) 9              c) 8

d) 7              e) 6

6. Hallar el residuo de 57!²⁰¹ entre 59

a) 1              b) 2              c) 3

d) 4              e) 5

7. En la DC de 32! Hallar la potencia de 4

a) 10            b) 12            c) 13

d) 14            e) 15

8. Hallar la suma de divisores  del número 980

a) 1026        b) 1036        c) 2052

d) 2072        e) 3048

9. Hallar la cantidad de divisores primos de 1965600

a) 5              b) 6              c) 7

d) 8              e) 9

10. Hallar la cantidad de divisores compuestos de N = 24³ x 21²

a) 175          b) 176          c) 177

d) 180          e) 194

11. Hallar N = 32 x a  x b; sabiendo que a y b son primos absolutos y la suma de los divisores de N es el triple de N

a) 660          b) 662          c) 666

d) 670          e) 672

12. Si N tiene 108 divisores compuestos, hallar CD_impares de N.

N = (a-1)^a x a^b+1 x b^a

a) 25            b) 26            c) 27

d) 28            e) 30

13. Determinar V o F en cada enunciado:

I. Si A y B son PESI

→ (A + B) y (A – B) son PESI

II. Si A y B son PESI

→ A  y (A + B) son PESI

III. Si A, B y C son PESI

→ A, B y C son PESI 2 a 2

a) VVV         b) VVF         c) FVF

d) VFF          e) FFF

14. Si N posee  divisores y tiene como mayor divisor propio a 182^b x 8. ¿Calcular CD de ?

a) 18            b) 20            c) 24

d) 36            e) 42

15. Dado:

7 x  +  =  + a + b

 

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