ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA: 17 MCD

MCD - MCM

MCD – MCM

DIVISOR COMÚN: Se llama divisor común de un conjunto de números enteros, a aquel número entero positivo que se encuentra contenido en todos ellos una cantidad entera y exacta de veces.

Divisores de 12; 18 y 30

D (12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

D (18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}

D (30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

Los divisores comunes son: 1; 2; 3 y 6

MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD)

El MCD de dos o más números enteros positivos es aquel número entero positivo que cumple las siguientes condiciones:

● Está contenido en todos ellos (divisor de ellos).

● Es el mayor posible.

● Los divisores comunes de los números son también divisores de su MCD.

● Cada uno de los números es múltiplo de su MCD.

Para los números: 12 y 18

Divisores de 12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Divisores de 18 = {1; 2; 3; 6; 9; 18}

Los divisores comunes son: 1; 2; 3 y 6

El mayor de dichos divisores es 6

MCD (12; 18) = 6

“Los divisores comunes a 12 y 18 son los divisores de su MCD”

Ejemplo 1: MCD ( ; ) = 24

Hallar a + b

= → = 72

b = 7

= → = → = 48

a = 4

a + b = 4 + 7 = 11

Propiedades adicionales:

● Si A y B son PESI; donde A > B

MCD (A;A+B) = 1

MCD (A;A-B) = 1

MCD (B;A+B) = 1

● Si A = → MCD (A;B) = B

MCD (15!;17!;19!) = 15!

Ejemplo 2: Hallar el MCD de ! y 8!

8! está contenido en el desarrollo de !

→ ! es múltiplo de 8!

MCD ( !;8!) = 8!

MINIMO COMUN MULTIPLO (MCM)

El MCM de varios números enteros positivos es aquel número entero positivo que cumple dos condiciones:

● Contiene a todos ellos exactamente (múltiplo de ellos).

●. Es el menor posible.

● Los divisores comunes de los números son también divisores de su MCM.

● Cada uno de los números es múltiplo de su MCM.

Para los números: 4 y 6

Múltiplos (+) de 4 = {4; 8; 12; 16; 20; 24;...}

Múltiplos (+) de 6 = {6; 12; 18; 24; 30;...}

Los múltiplos comunes son: 12; 24;...

El menor de los múltiplos comunes es 12

MCM. (4; 6) = 12

“Los múltiplos comunes son múltiplos de su

MCM”

Propiedades adicionales:

● Para dos números A y B se cumple:

MCD (A;B) x MCM (A;B) = A x B

● Si dos números A y B son PESI se cumple:

MCM (A;B) = A x B

● Si A = → MCM (A;B) = A

MCM (15!;17!;19!) = 19!

Ejemplo 3: Hallar el menor número entero positivo que dividido entre: 4; 5; 6; 7 y da un reto de 3.

Sea N el número pedido:

N = + 3 → N – 3 =

Si N – 3 es el menor número entero posible:

MCM (4; 5; 6; 7; 8) = N - 3

MCM (4; 5; 6; 7; 8) = 840

N – 3 = 840 → N = 843

METODOS PARA CALCULAR MCD Y MCM

● DESCOMPOSICION SIMULTÁNEA:

- Para MCD: Se extrae de los números los factores comunes hasta obtener números PESI; el producto de los factores extraídos es el MCD de dichos números.

- Para MCM: Se extrae de los números todos los factores comunes y no comunes hasta obtener la unidad en cada número; el producto de los factores extraídos es el MCM de dichos números.

Ejemplo 4: Hallar el MCD y MCM de: 180; 540 y 630.

MCD:

2; 6; 7 son PESI

MCD (180;540;360) = 2 x 3 x 3 x 5 = 90

MCM:

MCM (180;540;360) = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5 x 7 = 3780

● DESCOMPOSICION CANONICA:

- El MCD de dos o más números, que están descompuestos canónicamente, resulta de multiplicar a los factores primos comunes, elevados a los menores exponentes.

- El MCM de dos o más números, que están descompuestos canónicamente, resulta de multiplicar a los factores primos comunes y no comunes, elevados a los mayores exponentes.

Ejemplo 4: Hallar MCD (A;B) y MCM (A;B)

A = 2⁴ x 3⁵ x 5² x 7

B = 2² x 3⁶ x 5³ x 11

- El mayor número contenido en A y B

MCD (A;B) = 2² x 3⁵ x 5²

- El menor número contenido en A y B

MCD (A;B) = 2⁴ x 3⁶ x 5³x 7 x 11²

Ejemplo 5: Si A y B poseen 2 divisores comunes; hallar “n”

A = 12ⁿ x 10

B = 10ⁿ x 12

A = (2² x 3)ⁿ x 2 x 5 = 2²ⁿ⁺¹ x 3ⁿ x 5

B = (2 x 5)ⁿ x 2² x 3 = 2ⁿ⁺² x 3 x 5ⁿ

MCD (A;B) = 2ⁿ⁺² x 3 x 5

CD [MCD(A;B)] = (n+3)(2)(2) = 20

n = 2

● DIVISIONES SUCESIVAS O ALGORITMO DE EUCLIDES:

En una división: D = dq + r

Se aplica en repetidamente: “El MCD de D y d de una división inexacta es el MCD de d y r”

Ejemplo 6: Hallar el MCD (18;12)

1) 18 ÷ 12 → 18 = 12(6) + 1

MCD (18;12) = MCD (12;6)

2) 12 ÷ 6 → 12 = 6(2) + 0

MCD (12;6) = 6

Finalmente: MCD (18;12) = 6

Este método solo sirve para el cálculo del MCD de dos cantidades; y se puede organizar de esta manera:

Dado dos números A y B ∈ Z⁺; A > B

MCD (A;B) = r₃

Ejemplo 7: Hallar el MCD (119;68)

MCD (119;68) = 17

PROPIEDADES

● Si los números A; B y C son PESI:

MCD (A;B;C) = 1

MCD (7;15;16) = 1

● Si N = {A: B; C;…}; se toma elementos de N de 2 a 2 en sus posibles combinaciones y son PESI, el MCM será el producto de dichos números.

MCM (A;B) = A x B

MCM (A;C) = A x C

MCM (B;C) = B x C

Si: N = {4; 7; 9}

MCM (4;7) = 4 x 7 = 28

MCM (4;9) = 4 x 9 = 36

MCM (7;9) = 7 x 9 = 63

MCM (4;7;9) = 4 x 7 x 9 = 252

● Para dos números A y B; donde A =

Se cumple:

MCD (A;B) = A y MCM (A;B) = B

Dados 48 y 12 → 48 =

MCD (48;12) = 12

MCM (48;12) = 48

● Sean los números A y B; MCD (A;B) = d

= p = q

Donde p y q son PESI

MCM (A:B) = p x q x MCD (A;B)

A x B = MCD (A;B) x MCM (A;B)

● Sean los números A, B y C; MCD (A;B;C) = d

Los cocientes al dividir cada número entre se MCD son PESI

= p = q = r

p; q; r → son PESI

A = d x p

B = d x q

C = d x r

● Sean los números A, B y C; MCM (A;B;C) = m

Los cocientes al dividir su MCM entre cada número son PESI

= p = q = r

p; q; r → son PESI

m = A x p

m = B x q

m = C x r

Ejemplo 8: Hallar los posibles valores de N

si: N < 150 y MCD (N;150) = 5

N = 5p

150 = 5q → q = 30

p y 30 son PESI → p no debe ser ; y

N = 5p → 5p < 150 → p < 30

p = {1; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29}

N tiene 8 valores posibles

● Dado n ∈ Z⁺

MCD (A;B;C) = d y MCM (A;B;C) = m

MCD (nA;nB;nC) = nd

MCM (nA;nB;nC) = nm

Ejemplo 9: Hallar MCD (3A;6B;10C); si:

MCD (A;2B) = 24 y MCD (3B;5C) = 18

- MCD (A;2B) = 24 → MCD (3xA;3x2B) = 3x24

MCD (3A;6B) = 72

- MCD (3B;5C) = 18 → MCD (2x3B;2x5C) = 2x18

MCD (6B;10C) = 36

MCD (3A;6B;10C) = MCD (3A;6B;6B;10C)

MCD(3A;6B;10C)=MCD[MCD(3A;6B);MCD(6B;10C)]

MCD (3A;6B;10C) = MCD (72;36)

MCD (3A;6B;10C) = 36

● Dado n ∈ Z⁺

MCD (A;B;C) = d y MCM (A;B;C) = m

MCD ( ; ; ) =

MCM ( ; ; ) =

Ejemplo 10: Hallar MCM (2A;3B)

MCM (25A;30B) = 900 y MCM (28A;35B) = 1680

- MCM (25A;30B) = 900 → MCM ( ; ) =

MCM (5A;6B) = 180

- MCM (28A;35B)=1680 → MCM ( ; ) =

MCM (4A;5B) = 240

MCM(5A;6B;4A;5B)=MCM[MCM(5A;6B);MCM(4A;5B)]

MCM (5A;6B;4A;5B) = MCM [180;240] = 720 (I)

MCM (5A;6B;4A;5B) = MCM (5A;4A;6B;5B)

MCM(5A;6B;4A;5B)=MCM[MCM(5A;4A);MCM(6B;5B)]

Propiedad:

MCM (5A;4A) = 20A

MCM (6B;5B) = 30B

MCM (5A;6B;4A;5B) = MCM (20A;30B) (II)

- Hacemos (I) = (II)

MCM (20A;30B) = 720 → MCM ( ; ) =

MCM (2A;3B) = 72

● Dado n ∈ Z⁺

MCD (A;B;C) = d y MCM (A;B;C) = m

MCD (Aⁿ;Bⁿ;Cⁿ) = dⁿ

MCM (Aⁿ;Bⁿ;Cⁿ) = mⁿ

Ejemplo 11: Si: MCM (A; ) = 10 y B =

Hallar A + B

B = → A²-1 contiene a 3

MCM (A; ) = 10

MCM (A³; ) = 1000

MCM (3A³;A² - 1) = 3000

- pero: A³y (A+1)(A-1) son PESI

por propiedad

MCM (3A³;A²-1) = 3000

(3A³)(A² - 1) = 3000

- pero: A²-1 contiene a 3

(A³)(A² - 1) = 3000

(A³)(A² - 1) = (5³)(5²-1)

A = 5

B = → B = 8

A + B = 13

● Dado:

A = _n = n^a- 1

a veces

B = _n = n^b- 1

b veces

C = _n = n^c- 1

c veces

MCD (n^a–1; n^b–1; n^c–1) = n^MCD(a;b;c) - 1

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Si MCD (A;B) = 11 y MCM (A;B) = A²

Hallar “A”

a) 10 b) 11 c) 12

d) 111 e) 121

2. Hallar la suma de dos números cuyo MCD es 15 y su diferencia de cuadrado es 4725

a) 105 b) 110 c) 114

d) 115 e) 120

3. Hallar la diferencia de dos números sabiendo que su MCM entre su MCD es 108 y su suma es 651

a) 108 b) 216 c) 438

d) 483 e) 713

4. Hallar b – a; sabiendo que:

a ≠ b y MCM ( ; ; ) = 1287

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

5. Hallar la suma 2 números cuya suma de su MCD y su MCM es 770 y la diferencia de los mismos es 700.

a) 275 b) 300 c) 325

d) 350 e) 375

6. Hallar la suma de cifras de AB; sabiendo:

MCD (11B,77A) = 330 y MCM (21A,3B) = 1260

a) 6 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

7. Hallar la diferencia de dos números si el MCM de ambos números es 2 400 y Los cocientes sucesivos que se obtienen al calcular el MCD de dichos números mediante el algoritmo de Euclides son: 3, 1, 5 y 4 respectivamente.

a) 68 b) 71 c) 72

d) 75 e) 79

8. Tres autos con velocidades de 10m/s; 8m/s y 12m/s respectivamente parten al mismo tiempo desde el punto “P” en una pista circular de 480m de circunferencia. Hallar el tiempo que trascurre para que los tres autos coincidan por segunda vez en el punto “P”.

a) 7 min b) 7,5 min c) 8 min

d) 8,5 min e) 9 min

9. Un terreno de forma rectangular cuyas dimensiones son 200m y 80m es dividido de manera exacta en el menor número de áreas cuadradas congruentes. ¿Cuántas áreas cuadradas se obtuvieron como mínimo?

a) 8 b) 10 c) 12

d) 13 e) 14

10. Hallar la suma de cifras de A/B:

A = MCD (21!;22!;23!;……..!)

15 números

B = MCM (3!;4!;5!;…..……..!)

15 números

a) 20 b) 21 c) 22

d) 23 e) 24

11. Se disponen ladrillos de 8cm x 9cm x 12cm de tal forma que se obtener un cubo compacto lo más pequeño posible, como es mostrada en la figura:

Al pintar todas las caras a excepción de la base. ¿Cuántos ladrillos tienen una sola cara pintada?

a) 155 b) 184 c) 202

d) 244 e) 268

12. Hallar la suma de dos números primos entre si su diferencia es 7 y su MCM es 330.

a) 30 b) 34 c) 35

d) 37 e) 40

13. Hallar A + B

MCD = ( ;7) = 7

MCM = (A; ) = A

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

14. Hallar A – B si se sabe:

A = y MCM (B:A) = 3720

a) 89 b) 98 c) 108

d) 109 e) 120

15. Hallar el MCD + MCM de dos números que tienen 6 divisores cada uno, al triplicarse el primero y quintuplicarse el segundo su MCM no se altera. Su MCD y MCM tienen los mismos factores primos.

a) 230 b) 235 c) 240

d) 245 e) 250

16. Hallar el MCD (A;B) si se sabe:

A = - 1

B = - 1

a) 8^ab -1 b) 8ª - 1 c) 2^ab - 1

d) 2ª - 1 e) 8^b

17. Al dividir un terreno rectangular de 210m x 40m en terrenos cuadrados, ¿cuántos terrenos como máximo se podrá obtener, si el lado de cada terreno debe medir una cantidad entera, comprendida entre 3m y 9m?

a) 120 b) 164 c) 184

d) 246 e) 336

18. Hallar la diferencia positiva de dos número cuya suma 168 y el MCM de los mismos es 1748.

a) 16 b) 18 c) 19

d) 20 e) 22

19. EXAMEN SM. Dos números naturales difieren en cuatro unidades. Si el producto de su mínimo común múltiplo con su máximo común divisor es 96, halle la suma de dichos números.

a) 18 b) 20 c) 22

d) 24 e) 36

20. EXAMEN UNI. La municipalidad de Lince busca mejorar la ornamentación de sus dos avenidas principales, de2520 m y 2000 m, colocando murales equidistantes entre sí de tal forma que haya un mural al inicio y otro al final de cada avenida. Se sabe que para la colocación de cada mural se necesitan al menos 3 trabajadores, quienes percibirán S/.50 cada uno. Calcule la cantidad mínima de trabajadores que debe contratar la municipalidad de Lince para este trabajo.

a) 320 b) 330 c) 345

d) 365 e) 380

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ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA

martes, 21 de noviembre de 2017

17 MCD - MCM

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