POTENCIA Y RADICACION
POTENCIACION Y RADICACION
La Potenciación y Radicación de los números enteros
positivos es tratado en la Aritmética.
POTENCIACION
Es una operación matemática que consiste en multiplicar
un número por sí mismo varias veces.
“n” veces
|
P = potencia perfecta de grado “n”
K = base
n = exponente
- Para todo número real: A1 = A
- Para todo número real diferente de cero: A0
= 1
Potencia
perfecta de grado “n”:
Para
que un entero positivo sea una potencia perfecta de grado “n” es condición
necesaria y suficiente que los exponentes de los factores primos en su
descomposición canónica sean múltiplos de n.
K = Aa x Bb x Cc (DC)
Kn
= Aan x Bbn x Ccn
|
Si: M = 64
M = 82 es potencia perfecta de grado 2
● A la unidad se le considera perfecta de grado “n"
1 =
1 x 1 x 1 x…….x 1 x 1 = 1n
“n” veces
Potencia
perfecta de grado 2 o Cuadrado Perfecto (K2):
Todo número Z+ será un cuadrado perfecto, si
los exponentes de sus factores primos en su DC son
También todo número N es cuadrado perfecto si y solo si N
proviene de elevar al cuadrado un número racional.
169 = 132
2025 = 34 x 52
Ejemplo 1: Hallar el menor número tal que al
sumarle sus 3/7 se convierta en cuadrado perfecto.
- Sea N el número y K2 el cuadrado perfecto
N +
N = K2
- Para obtener un cuadrado perfecto, N debe ser mínimo.
N = 21 x 51 x 71
N = 21 x 51 x 71 = 70
● Si un cuadrado perfecto es múltiplo de un número primo
entonces será múltiplo del cuadrado de dicho número primo.
Ejemplo 2: ¿Cuántos números que son cuadrados
perfectos y de cuatro cifras son
y
- Sea N el número.
- Dato: N es
y
Por ser cuadrado perfecto N también debe ser:
N es
y
La forma de N será:
N = 32 x 52 x P2 (P = factor primo)
- Dato: N debe ser de 4 cifras.
1000 ≤
N ≤
9999 →
1000 ≤
32 x 52 x P2 ≤ 9999
4,44 ≤
P2 ≤
44,44
P2 = {32; 42; 52;
62}
Los 4 valores de P determinan que N tiene 4 valores:
N1 = 32 x 52 x 32 = 34 x 52
N2 = 32 x 52 x 42 = 24 x 32
x 52
N3 = 32 x 52 x 52 = 32 x 54
N4 = 32 x 52 x 62 = 22 x 34
x 52
● Un numero será cuadrado perfecto si la cantidad de
divisores es impar.
Ejemplo 3: Hallar el # de valores de
; Si N es cuadrado perfecto y su CD es impar
N =
+ 2(
) + 3(
) +….+ 24(
)
N =
+
2(
) + 3(
) +….+ 24(
)
N =
(1 + 2 + 3 + 4 +…..+ 24)
N =
(
) → N = 300
N = 22 x 31 x 52 x
- Dato: Si N es cuadrado perfecto;
-
debe
tener 3 cifras:
100 ≤
≤ 999 → 100 ≤ 3K2
≤ 999
3,33 ≤
K2 ≤
33,33
K2 = {62; 72; 82;….;
182} →
13 valores
Potencia
perfecta de grado 3 o Cubo Perfecto (K3):
Todo número Z+ será un cubo perfecto, si los
exponentes de sus factores primos en su DC son
También todo número N es cubo perfecto si y solo si N
proviene de elevar al cubo un número racional.
125 = 53
729 = 36
Ejemplo 4: Hallar el menor número tal que al sumarle
sus 3/4 se convierta en cubo perfecto.
- Sea N el número y K2 el cuadrado perfecto
N +
N = K3
- Para obtener un cubo perfecto, N debe ser mínimo.
N = 72 x 4
N = 72 x 4 = 196
● Si un cubo perfecto es múltiplo de un número primo
entonces será múltiplo del cubo de dicho número primo.
Ejemplo 5: Hallar el menor número cubo perfecto que sea
par, termine en cero y cuya suma de cifras sea múltiplo 3.
- Sea N el número cubo perfecto.
N es par →
N es
N termina en 0 → N es
Suma de cifras de N es múltiplo de 3 → N es
N = 23 x 33 x 53 x P3
- Como N debe ser el menor posible; el factor o P debe
ser 1.
N = 23 x 33 x 53 = 27000
CRITERIOS
DE INCLUSION Y EXCLUSION DE CUADRADOS Y CUBOS PERFECTOS
Son reglas que permiten la posibilidad de aceptar o
descartar que un número sea cuadrado o cubo perfecto.
I)
SEGÚN SU ÚLTIMA CIFRA:
K
|
..0
|
..1
|
..2
|
..3
|
..4
|
..5
|
..6
|
..7
|
..8
|
..9
|
K2
|
..0
|
..1
|
..4
|
..9
|
..6
|
..5
|
..6
|
..9
|
..4
|
..1
|
K3
|
..0
|
..1
|
..8
|
..7
|
..4
|
..5
|
..6
|
..3
|
..2
|
..9
|
● Si
un número termina en 2; 3; 7 u 8 no es K2. En los demás casos tendrá
la posibilidad de ser K2.
● Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra.
II)
POR SU TERMINACION EN CEROS:
● Para K2:
Si un numero termina en una cantidad de ceros, será K2
si y solo si dicha cantidad de ceros es par y además el numeral que queda a la
izquierda de dichos ceros es K2.
Ejemplo 5: Hallar: a + b + c + d + e
-
es K2
-
debe terminar en cifras cero y par:
e = 0 →
-
-
2 =
→ Para que se cumpla:
c = 0 →
2 =
-
2 =
para que se cumpla b debe ser 4 o 6:
a = 2; b = 6; d = 7
a + b + c + d + e = 2 + 6 + 0 + 7 + 0 = 15
● Para K3:
Si un numero termina en una cantidad de ceros, será K3
si y solo si dicha cantidad de ceros es
y
además el numeral que queda a la izquierda de dichos ceros es K3.
Ejemplo 6: Hallar la suma de todos los valores
posibles de: a + b + c + d
-
es
K3
-
debe terminar en cifras cero y ser
d = 0 →
- Si
=
K3 →
=
K3
100 ≤
K3 ≤
999
K3 = {53; 63; 73;
83; 93} = {125; 216; 343; 512; 729}
a + b + c = {8; 9; 10; 8; 18}
- Suma de posibles valores de a + b + c + d:
8 + 9 + 10 + 8 + 18 + 0 = 53
III)
POR SU TERMINACION EN CIFRA 5:
● El K2 de todo número que termina en 5 terminara
en 25, además el numeral que queda a su izquierda es producto de 2 números
consecutivo y su cifra de tercer orden debe ser 0; 2 o 6.
Ejemplo 7: Hallar a + b + c + d
-
es
producto de 2 números consecutivos:
17 x 18 = 306 (no cumple)
18 x 19 = 342 (no cumple)
19 x 20 = 380 (cumple)
b = 8
a = 1
a + b + c + d = 1 + 8 + 2 + 5 = 16
● El K3 de todo número que termina en 5
terminara en 5, además su cífralas decenas debe ser 2 o 7.
OJO:
3 =
n es par →
x = 2
n es impar →
x = 7
Ejercicio 8: Hallar a + b + c
- Como
3 es
K3
- Analizamos:
a + 5 ≤
9 → a ≤ 4 (I)
a + 2 debe ser:
a + 2 = 2 →
a = 4 o a + 2 = 7 →
a = 9 (II)
- De (I) y (II): a = 4
c = 1
a + b + c = 4 + 5 + 1 = 10
NOTA:
● Divisibilidad por 4:
- Un K2 puede ser:
o
+
1
- Un K3 puede ser:
–
1;
o
+
1
● Divisibilidad por 9:
- Un K2 puede ser:
;
+
1;
+
4 o
+
7
- Un K3 puede ser:
–
1;
o
+
1
● Si un numero entero positivo es divisible entre un
numero primo P pero no es divisible entre P2 → no es K2
● Si un numero entero positivo es divisible entre un
numero primo P pero no es divisible entre P3 → no es K3
RADICACION
Es una operación matemática inversa a la potenciación que
consiste en que dados dos números llamados índice y radicando se calcula un
tercer número llamado raíz donde este último elevado al índice reproduzca el
radicando.
R =
|
K = radicando
n = índice
R = Raíz enésima
RAIZ
CUADRADA
● Raíz cuadrada
entera:
Reglas:
- Para hallar la raíz cuadrada entera de un número mayor
que 100, se divide el número en periodos de 2 cifras empezando por la derecha.
- Se halla la raíz cuadrada del primer periodo que tendrá
una o dos cifras, y ella será la primera cifra de la raíz.
- Se resta mentalmente su cuadrado del primer periodo, a
la derecha de la diferencia se baja el periodo siguiente, del número así
obtenido se separa su última cifra de la raíz.
- Esta cantidad se divide entre el doble de la primera
cifra de la raíz.
- El cociente entero obtenido se escribe a la derecha del
número que sirvió de divisor y el número obtenido se multiplica por el referido
cociente entero mentalmente y se resta del primer resto seguido del segundo
periodo.
- Si la resta puede efectuarse, la cifra de dicho
cociente es buena y será la segunda cifra de la raíz; en cambio, si la resta no
puede efectuarse se rebaja la cifra en una unidad y se somete a análogas
comprobaciones hasta obtener la cifra correcta de la raíz.
- A la derecha del resto se bajara el periodo siguiente y
así se continua hasta bajar el último periodo y encontrar la última cifra de la
raíz.
Ejemplo 9: Hallar la raíz cuadrada de 89224
89224 = 2982 + 420
● Raíz cuadrada exacta:
Todo número que tenga raíz cuadrada exacta será un K2
729 = 272
951 = 312
Ejemplo 10: Hallar a + b; si
es K2
- Dato:
es
K2
47 x 47 = 2209
48 x 48 = 2304
49 x 49 = 2401
a = 0 y b = 4 → a + b = 4
● Raíz cuadrada inexacta:
Como en la división se tendrán dos casos: Defecto y
Exceso (r ≠
0).
- Defecto:
N = K2
+ rd
|
→ 610
= 242 + 34
- Exceso:
N
= (K+1)2 – re
|
→ 610
= 252 - 15
OJO:
Todo numero Z+ que no es K2 estará comprendido entre dos K2
consecutivos.
Ejemplo 11: Entre dos K2
consecutivos existen 38 números enteros. Halla la diferencia entre el mayor y
menor número comprendido en el intervalo.
- Sea N2 el menor cuadrado perfecto.
N2;
←hay
38 números →;
(N+1)2
[(N+1)2 - N2] – 1 = 38
[N2 + 2N + 1 - N2] = 39
2N + 1 = 39 → N = 19
192 = 361
y 202 = 400
361; 362; 363;…..; 398; 399; 400
399 – 362 = 37
● Propiedades:
rd + re =
2K + 1
0 < r
< 2K + 1
rmin
= 1 rmax
= 2K
Ejemplo 12: Al extraer la raíz cuadrada de
cierto número se obtuvo 52 de residuo. Si a dicho número se le suma 1000, su
raíz aumenta en 2 y su residuo se hace máximo. Hallar dicho número.
- Sea N el número pedido:
- Datos:
N = K2 + 52
(I)
N + 1000 = (K + 2)2 + rmax
N + 1000 = (K + 2)2 + 2(K + 2)
N + 1000 = K2 + 2K + 4 + 2K + 4
N + 1000 = K2 + 4K + 8 (II)
- (II) menos (I):
1000 = 4K - 44 → K = 261
- Reemplazando en (I):
N = (261)2 + 52 = 68173
● Si al extraer la raíz cuadrada de un número el residuo
es máximo; dicho número aumentado en una unidad es K2
Ejemplo 13: Hallar a + b + c; si al extraer la
raíz cuadrada de
se obtuvo residuo máximo. (a≠0)
- Por propiedad:
- Criterio de K2 que terminan en 5:
c = 2 →
- Si
→
es
producto de 2 números consecutivos:
a = 5 y b = 0
a + b + c = 5 + 0 + 2 = 7
RAIZ
CUBICA
● Raíz cubica
entera:
Reglas:
- Para hallar la raíz cubica entera de un número mayor
que 100, se divide el número en periodos de 3 cifras empezando por la derecha.
- Se halla por la tabla de los cubos de los 9 primeros
números enteros la raíz cubica del primer periodo y la cifra que resulta ella
será la primera cifra de la raíz. Esta se eleva al cubo, se resta del primer
periodo, a la derecha de la diferencia se escribe el segundo periodo, se
separan las dos últimas cifras de la derecha y el número que queda a la
izquierda se divide por el triple del cuadrado de la primera cifra de raíz.
- Se tantea por la regla dada dicho cociente entero. Se
tiene una cifra o la cifra 9. Si se tiene más de una cifra se va rebajando de
unidad en unidad hasta obtener la segunda cifra de la raíz.
A la derecha del resto obtenido se escribe la cifra
siguiente, del número resultante se separan las dos cifras de su derecha, luego
se divide el número que queda a la izquierda del cuadrado del número formado
por las 2 cifras halladas de la raíz.
- Este triple del cuadrado se forma al sumar tres números
que son:
El
primero: El producto de la última cifra de la raíz
por el número que resulta de escribir a la derecha del triple del número que
forman todas las cifras halladas antes calculadas es la última cifra hallada.
El
segundo: Es el resultado de sumas el primero con el
triple del cuadrado del número que forman las cifras halladas de la raíz, menos
la última.
El
tercero: Es el cuadrado de la última cifra de la
raíz.
El cociente entero por este tripe del cuadrado será igual
o mayor que la tercera cifra de la raíz, se tantea este cociente entero por la
regla para comprobar a cifra hasta obtener la tercera cifra de la raíz, a la
derecha del resto se escribe el periodo siguiente y así sucesivamente se
continua hasta hallar la última cifra de la raíz.
Tener presente:
(a + b)3 = a3 + 3a2b +
3ab2 + b3
Ejemplo 14: Hallar la raíz cubica de 12910
12910 = 233 + 743
● Raíz cubica exacta:
Todo número que tenga raíz cubica exacta será un K3
19683 = 273
29791 = 313
● Raíz cubica
inexacta:
Como en la división se tendrán dos casos: Defecto y
Exceso (r ≠
0).
- Defecto:
N = K3
+ rd
|
839 = 93 + 110
- Exceso:
N = (K+1)3
– re
|
839 = 103 - 161
OJO:
Todo numero Z+ que no es K3 estará comprendido entre dos
K3 consecutivos.
43 < 92 < 53
73 < 400 < 83
● Propiedades:
rd + re =
3K(K+1) + 1
0 < r
< 3K(K+1) + 1
rmin
= 1 rmax
= 3K(K+1)
● Si: rmax
= 3K(K+1)
Entonces K(K+1) es producto de 2 enteros consecutivos.
rmax
= 3K(K+1) =
Ejemplo 15: Analizar si 60; 72 y 90 son rmax al extraer una raíz cubica.
* 60 = 3 x 20 = 3(4x5) → Si puede ser rmax
* 72 = 3 x 24 → No puede ser rmax
* 90 = 3 x 30 = 3(5x6) → Si puede ser rmax
Ejemplo 16: Hallar el número que al extraer su
raíz cubica, su residuo por exceso y defecto están en relación de 15 a 16;
además la suma de dichos residuos es 217.
- Sea N el número
- Dato:
15n + 16n = 217 → n = 7
- Propiedad:
rd + re =
3K(K+1) + 1
217 = 3K(K+1) + 1
72 = K(K+1)
72 = 8x9
K = 8
- De: N = K3 + rd
N = 83 + 105
N = 617
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Hallar el menor número entero que al multiplicarse por
8400 resulte un K2.
a) 15 b)
21 c) 25
d) 35 e)
49
2. Hallar el menor número entero que al multiplicarse por
2880 resulte un K3.
a) 6 b)
12 c)
15
d) 35 e) 75
3. Hallar el menor número entero que al dividirse a 20!
resulte un K2.
a) 46189 b)
43189 c) 42613
d) 40613 e)
40189
4. Hallar el menor número entero que al dividirse a 20!
resulte un K3. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
a) 32 b) 33 c) 34
d) 35 e) 36
5. Si al obtener la raíz cuadrada de
;
se obtiene (
)2 y un resto por defecto de
Hallar:
-
a) 32 b)
33 c) 34
d) 35 e)
36
6. Al extraer la raíz cuadrada de un número se obtienen
37 y 44 como restos. Hallar la suma de las cifras de dicho número.
a) 14 b)
15 c) 16
d) 17 e)
18
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COMPIASTE DE LUMBREAS NO
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