NÚMEROS RACIONALES-DECIMALES
NUMEROS RACIONALES
DECIMALES
Números decimales es la expresión en forma lineal de una fracción, que se
obtiene dividiendo el numerador entre el denominador de una fracción
irreductible.
El número decimal consta de dos partes:
- Parte entera (se separa mediante una coma)
- Parte decimal
Parte entera Parte decimal
CLASIFICACION
DE LOS NUMEROS DECIMALES
NUMEROS
DECIMALES EXACTOS
Son los que presentan un
número limitado de cifras en la parte no entera.
31,024 12,56 1,2002 25,4
Una fracción propia irreductible, dará
origen a un decimal exacto cuando el denominador es una potencia de 2 y/o 5 o
del producto de potencias de 2 y 5 únicamente
La cantidad de cifras decimales está dada
por el mayor exponente de 2 o 5 contenido en el denominador de la fracción
irreductible.
Ejemplo 01: ¿Cuántas cifras decimales origina
la fracción
?
3 cifras decimales.
NUMEROS
DECIMALES INEXACTOS
Son los que presentan un
número ilimitado de cifras en la parte no entera.
31,24.. 1,2020.. 25,405405…..
I. Periódico
Puro:
Para calcular la cantidad de cifras decimales que hay en
el periodo bastara saber cuántos 9 como mínimo estarán contenidos en el
denominador.
Fracción
Generatriz:
● F = 0,242424…. → F = 0,
F = 0,
=
Tabla
de los 9:
La cantidad de cifras periódicas está dado
por el menor número formado únicamente por cifras “nueve”, que contiene
exactamente al denominador de la fracción irreductible
●
→
origina
2 cifras periódicas
(11 está en 99) →
=
0,
●
→
origina 4 cifras periódicas
(101 está en 9999) →
=
0,
●
→
origina 5 cifras periódicas
(41 está en 99999) →
=
0,
Si el denominador de la fracción
irreductible es el producto de varios factores primos diferentes, el número de
cifras periódicas está dada por el MCM de la cantidad de cifras de los menores
números formados por cifras 9, que contengan a los factores primos indicados.
●
7 → 6 cifras periódicas
11 → 2 cifras periódicas
101 → 4 cifras periódicas
MCM (6; 2; 4) = 12 cifras periódicas
●
7 → 6 cifras periódicas
11 → 2 cifras periódicas
37 → 3 cifras periódicas
41 → 5 cifras periódicas
MCM (6; 2; 3; 5) = 30 cifras periódicas
II.
Periódico Mixto:
Una fracción irreductible, dará origen a un
decimal inexacto cuando el denominador es una potencia de 2 y/o 5 o del
producto de potencias o de otros números. Presenta el período luego de una
cifra o un grupo de cifras después de la coma decimal.
Para encontrar la cantidad de cifras
periódicas y no periódicas se procede según como se indica en los casos anteriores.
Fracción
Generatriz:
● F = 0,354545…. → F = 0,35
F = 0,35
=
=
Si el denominador de la fracción
irreductible es el producto de varios factores primos diferentes, para hallar el número de cifras periódicas se
procede como el caso de periódicos puros.
Recordar:
● D,
= D +
0,
● Cifras periódicas:
● Fracción Generatriz:
BASE
n = 10
|
BASE n
|
|
Decimal Exacto
0,
|
||
Periódico puro
0,
|
||
Periódico mixto
0,
|
Ejemplo 2: Hallar X
X = (
-
)2
- Hallamos la fracción generatriz:
0,3211…. = 0,32
=
=
0,2499…. = 0,24
=
=
- reemplazamos y desarrollamos:
X = (
-
)2
→ X = (
)2
X =
Ejemplo 3: ¿Qué número decimal tiene menor
numerador?
0,24 0,3333… 0,2555….
● 0,24 =
=
● 0,3333… = 0,
=
=
● 0,2555… = 0,2
=
=
Respuesta:
Ejemplo 4: Si 0,
(4) =
Hallar a + b
0,
(4)
→ a y b
0
0,
(4)
=
→
=
a = 1 y b = 3
a + b = 4
Ejemplo 5: Hallar m +n
0,m
(6) + 0,n
(6) = 1,
(6)
Ejemplo 6: Hallar b si 0,8
= 0,4
(b)
13b3 – 13b = 60b2
+ 15b - 15
13b3 – 60b2
- 28b + 15 = 0
(b - 5)(13b2 + 5b - 3)
= 0
● 13b2 + 5b – 3 = 0 → para todo b entero la
ecuación
0
● b – 5 = 0 → b = 5
0,8
=
0,4
(b) →
0,8
=
0,4
(5)
Ejemplo 7: ¿Cuántas fracciones propias menores de 0,
y cuyos
términos son consecutivos existen?
- Sea la fracción propia de términos consecutivos y menor a 0,
:
99n < 83n + 83 → 16n < 83
N < 5,1875
- Para n = 1
- Para n = 2
- Para n = 3
- Para n = 4
- Para n = 5
Existen 5 fracciones propias
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