24 Regla de interes

REGLA DE INTERÉS

REGLA DE INTERES

Se llama interés o rédito, a la suma o ganancia que produce un capital prestado, durante tiempo y según una tasa fijada (en porcentaje).

CAPITAL (C)

Es un conjunto de bienes o una cantidad de dinero de los que se puede obtener ingresos en el futuro.

INTERÉS (I)

Es la ganancia que produce el capital durante un cierto tiempo con la condición de que cien unidades de dinero produzcan una cierta cantidad anual.

● Si se depositan $100 en un banco y, después de cierto tiempo y se retira en total $120, significa que se ha ganado un interés de $20.

TASA DE INTERÉS (r%)

Es el tanto por ciento del capital que se paga por la utilización de éste durante un tiempo.

● Una tasa de 10% mensual significa que se gana el 10% del capital por cada mes.

● Una tasa de 15% bimestral significa que se gana el 15% del capital por cada dos meses.

Si no se considera el tiempo para es cual se aplica la tasa de interés, se considera una tasa anual.

Tasa equivalente: Dos tasa colocadas en el mismo tiempo y producen la misma ganancia son equivalentes.

● Si se coloca un dinero en el Banco A que ofrece 4% mensual o en el Banco B que ofrece 12% trimestral, en un año los intereses serán iguales

4% mensual <> 0,13% diario

4% mensual <> 8% bimestral

4% mensual <> 12% trimestral

4% mensual <> 24% semestral

4% mensual <> 48% anual

Clases de tasa de Interés:

A) De acuerdo con el número de periodos de tiempo:

Tasa nominal:

- Se aplica directamente a operaciones de interés simple.

- Toma el nombre de tasa proporcional cuando en un determinado tiempo puede expresarse en otro plazo de tiempo de mayor o menor magnitud.

Tasa efectiva: Es la verdadera tasa de rendimiento que produce un capital inicial en una operación financiera.

B) Según el balance bancario:

Tasa activa: Se aplica a las colocaciones de los bancos e instituciones financieras a sus clientes por créditos de corto, mediano y largo plazo.

Tasa pasiva: Son las captaciones que las instituciones financieras reciben del público a través de una cuenta de ahorro, cuenta corriente, depósitos a plazo, emisión de bonos y certificados.

C) Por la contraprestación del uso del dinero e indemnización por incumplimiento:

Tasa compensatoria: En las operaciones bancarias es la tasa activa por las colocaciones o la tasa pasiva por las captaciones que cobran o pagan.

Tasa moratoria: Es una tasa de interés importante pues constituye la indemnización del deudor en el reembolso del capital y del interés compensatorio en las fechas convenidas.

D) Por el tipo de capitalización:

Tasa discreta: Es aquella tasa nominal cuyo plazo de capitalización supone plazos de tiempo cuyo resultado se  acerca a un límite cuando el plazo de capitalización se hace más pequeño.

Tasa continua: Es aquella tasa nominal cuyo plazo de capitalización se hace cada vez más pequeño y tiende a infinitos periodos por tanto incrementa la tasa efectiva.

TIEMPO (t)

Intervalo durante el cual se presta o utiliza el capital.

● 1 año < > 12 meses.

● 1 mes comercial < > 30 días

● 1 año comercial < > 360 días

● 1 año común < > 365 días

● 1 año bisiesto < > 366 días

MONTO (M)

Es la suma del capital y el interés generado.

M = C + I

● Un capital de s/300, genero un interés de s/50 soles, el monto es:

S/350 = 300 + 50

CLASES DE INTERES

INTERÉS SIMPLE

En este caso, el capital es constante durante todo el tiempo, el interés es proporcional al tiempo y a la tasa. El interés o ganancia no se acumula al capital sino hasta el final de todo el proceso u operación financiera.

● Cuando la tasa y el tiempo están en un mismo periodo:

I = C x r% x t

● Si la tasa está en meses:

I =

● Si la tasa está en días:

I =

● Si la tasa está en años:

I =

C =

Ejemplo 1: Se deposita en un banco $4000 durante 3 años. Si la tasa anual es 8%. ¿Cuál será el interés generado y el monto obtenido?

Como r% y t están en años, aplicamos:

I = C x r% x t

I = (4000)( )(3)

I = $960

M = C + I

M = 4000 + 960 = $4960

Ejemplo 2: Una persona A presta S/1600 al 5% trimestral y otra persona B presta S/2000 al 5% cuatrimestral. ¿Dentro de cuánto tiempo los montos serán iguales?

- Persona A:

C = s/1600

r% = 5% trimestral = 20% anual

Monto de A = M_A

Tiempo = t

- Persona B:

C = s/2000

r% = 5% cuatrimestral = 15% anual

Monto B = M_B

Tiempo = t

- dentro de t años los montos deben ser iguales:

M_A = C_A + I_A = M_B = C_B + I_B

M_A = M_B

C_A + (C_A x r%_A x t) = C_B + (C_B x r%_B x t)

1600 + ((1600)( )t) = 2000 + ((2000)( )t)

320t = 400 + 300t

t = 20 años

Ejemplo 3: Una persona desea colocar su capital en un Banco a una tasa mensual; pero al final se decide colocarlo la misma tasa pero en forma trimestral. Con eso deja de ganar $120 en un año. ¿Cuánto hubiera ganado si lo hubiera colocado a una tasa mensual en 3 años?

- Sea “r“  la tasa mensual.

I = C x r% x t

- Caso tasa mensual:

Tasa anual = 12r%  (en 1 año)

I = C12r%

- Caso tasa trimestral:

Tasa trimestral: 4r%   (en 1 año)

I = C4r%

- Dato:

C12r% - C4r% = 120

Cr% = 15

- Interés o ganancia en 3 años:

I = C x r% x t

I = 12(Cr%)3 = 12(15)(3)

I = $540

INTERES COMPUESTO

En este caso el interés generado pasa a formar parte del capital cada cierto tiempo denominado periodo de capitalización, o sea que el capital aumenta cada cierto tiempo.

Este proceso es también conocido como proceso de capitalización.

M = C(1 + r%)n

n = es el número de periodos de capitalización contenidos en el tiempo de imposición.

El periodo de capitalización determina las unidades de la tasa y el tiempo que se debe utilizar.

Ejemplo 4: Se deposita un capital al 4% anual capitalizado trimestralmente por 2 periodos que origina un monto de s/40408. Hallar dicho capital.

Tasa → 4% anual <> 1% trimestral

M = C(1 + r%)ⁿ

40408 = C(1 + 1%)²

40408 = C(100% + 1%)²

40408 = C(101%)² → 40408 = C( )²

40408 = C(1,01² → 40408 = C(1,0201)

C = s/40000

Ejemplo 5: ¿Cuántos meses se debe imponer un capital a una tasa de 5% mensual, capitalizable cuatrimestralmente para que aumente en 72,8%

Tasa → 5% anual <> 20% cuatrimestral

M = C + 72,8%C = 172,8%C

M = C(1 + r%)ⁿ

172,8%C = 100%C(1 + 20%)ⁿ

172,8%C = 100%C(1 + 20%)ⁿ

1,728 = ( )ⁿ

1,728 = (1,2)ⁿ

n = 3 cuatrotrimestres <> 12 meses

Ejemplo 6: Un capital se deposita al 25% trimestral durante 9 meses con capitalización trimestral. Si el 2do periodo de capitalización se generó $400 de ganancia; hallar dicho capital.

- El tiempo son 9 meses, como la capitalización es trimestral → hay 3 periodos de 3 meses

- recordar: M = C + I

- El 25% trimestral es la cuarta parte del capital

- Como son 3 periodos y con la finalidad de operar con enteros, haremos:

Capital inicial = 4³c = 64c

- 1º Periodo

Interés =  C =    (64c) = 16c

M = C + I → M = 64c + 16c = 80c

- 2º Periodo

Interés =    (80c) = 20c

M = C + I → M = 80c + 20c = 100c

- 2º Periodo

Interés =    (100c) = 25c

M = C + I → M = 100c + 25c = 125c

- DATO: Si el 2do periodo de capitalización se generó $400 de ganancia

20c = 400 → c = 20

- Hallamos el capital:

C = 64c → C = 64(20)

C = $1280

INTERES CONTINUO

El interés continuo se obtiene cuando la capitalización es en cada instante, es decir, fraccionando la tasa y el tiempo en un número de partes infinitamente grande.

El monto que se obtiene con un capital C, durante un tiempo t a una tasa r% (r% y t en las mismas unidades de tiempo, o sea, si r% es anual, t en años, etc.)

M = Cer%t

e = 2,71828182….

Ejemplo 7: Se depositan s/ 2800 a un interés de 6%. Hallar el valor futuro si el interés se acumula continuamente durante 3 años.

C = s/2800

r% = 6% anual = 0,06

t = 3 años

e = 2,71828182…. ≅  2,72

M = Ce^r%t

M = 2800e^(0,06)(3)

M = 2800e^0,18

M = 3352,58991… ≅ 3352,6

Ejemplo 8: Un capital es depositado en una cuenta cuyo interés se aplica continuamente. Si después de 6 años el capital se ha duplicado. Hallar la tasa de interés anual (aproximadamente)

Recordemos propiedades de logaritmos:

Lne = 1

LnA = Lne^B → LnA = BLne

- Sea el capital = C

M = Ce^r%t

2C = Ce^r%6

- Prop. De Logaritmos:

Ln2 = Lne^r%6

Ln2 = r%6Lne

r% =  = 0,0502

r = 5,02

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. ¿Cuál será el interés cuatrimestral que produce $240 a 0,21% semanal?

a) $3,32       b) $6,84       c) $8.64

d) $33.2       e) $68.4

2. Se depositan $1500 de la manera siguiente: los 3/5 al 6% anual; la mitad de lo que quedo al 8% anual ¿Cuál es la tasa de interés anual del resto, si se obtiene una ganancia anual de $108?

a) 8%           b) 9%           c) 9,5%

d) 10%         e) 12%

3. Un comerciante se obtiene un préstamo bancario de s/6000 por 5 meses al 14% anual ¿Qué cantidad en soles devuelve al banco al finalizar el plazo?

a) 6300        b) 6350        c) 6400

d) 6450        e) 6500

4. Hallar el capital impuesto al 40% capitalizable semestralmente durante año y medio, cuyo interés producido es $340 menos que dicho capital.

a) $1250       b) $1500       c) $1850

d) $2250       e) $2500

5. Un capital es depositado al 7% anual y se obtiene s/6580; pero si se hubiese colocado al 3% trimestral, la cantidad obtenida seria s/8000. Hallar el capital.

a) $4572       b) $4580       c) $4582

d) $4590       e) $4592

6. El capital A se impone al 3r% mensual durante 4 meses. El capital B se impone a r% mensual durante 10 meses, excede al capital A en s/500. Si los intereses generados por ambos capitales están en relación de 4 a 5. Hallar la suma de ambos capitales.

a) s/1500      b) s/2000      c) s/2500

d) s/2700      e) s/2800

7. Se presta $3000 al 10% mensual sobre el saldo deudor de cada mes. Los dos primeros 2 meses no se amortiza nada, pero el tercero y cuarto mes se amortiza X dólares. Si al cabo de cuatro meses se canceló la deuda, hallar el valor de X en dólares.

a) 2088        b) 2089,2      c) 2090,4

d) 2091,6      e) 2092,8

8. Se deposita un capital al 4% y se obtiene s/4200. Si se hubiera depositado al 9% se hubiera obtenido s/4450. Hallar el monto si se hubiera depositado al 10%.

a) s/3000      b) s/3500      c) s/4000

d) s/4500      e) s/5000

9. El 40% de un capital se deposita al r% y el resto al 2r%. Al cabo de t años la diferencia de intereses es $72. Si se hubiera depositado al 3/2r% durante 2t años ¿Cuánto se habría ganado?

a) $255        b) $260        c) $270

d) $280        e) $285

10. Un capital impuesto al 40% semestral y capitalizable trimestralmente durante 1 año; genera una diferencia de interés de s/660 entre su cuarto y segundo periodo. Hallar dicho capital.

a) s/6250      b) s/6350      c) s/6425

d) s/6525      e) s/6550

11. Se impone los 2/3 de un capital al 6% anual. Los ¾ del resto se impone a 1,5% bimestral y el resto a 1% mensual. Si después de 2 años y un mes se obtiene $1105, hallar el capital inicial.

a) $945        b) $960        c) $985

d) $1015       e) $1050

12. Un capital se impone durante un año de la siguiente manera: el 25% al 4% anual; el 30% al 3% anual y el 35% al 6% anual. Si el monto obtenido es el 105% del capital inicial. ¿A cuánto % anual se deberá imponer el resto del capital?

a) 5%           b) 10%         c) 15%

d) 20%         e) 25%

13. Se imponen $12000 al 6% y $12800 al 5% durante el mismo tiempo. Durante ese tiempo adquieren el mismo valor debido a la adición del interés simple al capital. Hallar el tiempo impuesto.

a) 5 años      b) 10 años    c) 15 años

d) 20 años    e) 25 años

14. Un capital se impone al 20% anual. El 1er año se retiran los intereses más una parte del capital igual a los intereses; el 2do año se retiran los intereses más una parte del capital igual a los intereses y el 3er año se procede de la misma forma, quedando disminuido el capital inicial en s/122. Hallar el capital inicial.

a) s/250        b) s/280        c) s/300

d) s/350        e) s/380

15. Un capital se coloca al 30 por 75 durante 10 meses y otro se coloca al 35 por 70 durante 7

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