27 Analisis Combinatorio

ANALISIS COMBINATORIO

Es la parte de las matemáticas que se ocupa de los grupos o selecciones que se forman con los elementos de un conjunto, distinguiéndose entre sí por el número de elementos que intervienen en cada grupo, clase de elementos y orden de colocación.

Principio de la Adición:

Si A se puede realizar de “x” maneras diferentes y B de “y” maneras diferentes con la condición de que ambos eventos no pueden realizarse en forma simultanea o uno tras de otro, entonces para que se realice A o B se hace de x + y maneras diferentes.

Ejemplo 1: Se puede realizar un viaje de Lima al Cusco por vía aérea con 2 líneas aéreas o por tierra usando 4 líneas terrestres. ¿De cuantas formas se pude viajar?

A = via aérea

B = via terrestre

A  y B no se pueden realizar al mismo tiempo o una después del otro.

Se realiza el viaje de (2 + 4) maneras diferentes

Principio de la multipicacion:

A se puede realizar de “x” maneras diferentes y cuando ha sido realizado, se realiza B de “y” maneras diferentes; entonces ambos eventos A y B se realizan de  (x)(y) maneras diferentes.

Ejemplo 2: Para ir de Lima a Huancayo se puede usar 2 vías; y para ir de Huancayo a Tarma se pueden usar 3 vías. ¿De cuantas maneras se puede ir de Lima a Tarma pero siempre pasando por Huancayo?

A = Lima a Huancayo (2 maneras)

B = Huancayo a Tarma (3 maneras)

Necesariamente se debe pasar por Huancayo

De Lima a Tarma hay (2 x 3) maneras posibles

Diagrama del Árbol

Es un gráfico formado por un conjunto de vértices y ramas que se utilizan para indicar todas las posibilidades asociadas a un conjunto completo de sucesos.

Ejemplo 3: Clasificación de un grupo de pacientes según:

- Tipo de sangre: A; B; AB y O

- Presión sanguínea

- Comenzado de arriba hacia abajo:

1º rama → Paciente tipo de sangre A y presión sanguínea BAJA

6º rama → Paciente tipo de sangre B y presión sanguínea ALTA

11º rama → Paciente tipo de sangre O y presión sanguínea NORMAL

FACTORIAL DE UN NÚMERO (n!)

Si n es un numero entero positivo; entonces n! es el producto de todos los números naturales enteros consecutivos en forma decreciente  desde n hasta 1

3! = 3 x 2 x 1 = 3(2!) = 6

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5(4!) = 120

Ejemplo 4: Hallar el valor de A:

A =

A =  → A = 7 x 22

A = 154

METODOS DE CONTEO

I. PERMUTACION LINEAL

Se denomina permutación de un conjunto de n elementos a todo arreglo ordenados de estos n elementos tomados de n en n.

Si tuviéramos n elementos y los ordenamos de r en r:

= P(n;r) =

1 ≤  r  ≤ n

Si: n = r

= Pn = P(n;n) = n!

Ejemplo 5: 30 padres de familia participan para la elección de 3 miembros de la APAFA. ¿De cuántas maneras se podrá efectuar la elección?

 =  →  =

 =  = 24360

Ejemplo 6: De cuantas maneras se podrá ordenar 5 libros en un estante para 5 libros.

 = n! →  = 5!

 = 5x4x3x2x1 = 120

II. PERMUTACION CIRCULAR

Una permutación es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos tomando en cuenta el orden de su ubicación.. Es importante destacar que el orden es una característica significativa en la permutación, cuando variamos la disposición de los elementos decimos que permutamos dichos elementos.

Debido a ello no se puede considerar cual es el 1º o último elemento, para ello se considera un elemento como fijo llamada elemento de referencia.

= (n-1)!

Ejemplo 7: Ana, Betty, Carlos y David se desean ubicar en una mesa circular de 5 asientos con la condición que la silla vacía debe quedar entre las dos mujeres. ¿De cuantas maneras diferentes se podrán sentar?

- Condición: La silla debe estar siempre entre las dos mujeres; es decir estos 3 elementos serán los elementos fijos.=

 = 2! = 2

- Tanto Ana como Betty se pueden cambiar de lugar de maneras.

Numero de maneras = 2 x 2 = 4

III. PERMUTACION CON REPETICION

Es un arreglo donde no todos sus elementos son distintos entre sí, esto significa que hay elementos que se repiten que se les considera que formaran una clase.

Las permutaciones con elementos repetidos son las diferentes permutaciones que pueden formarse con n elementos, de los cuales:

n₁ son del tipo 1; n₂ son del tipo 2; n₃ son del tipo 3;….; n_k son del tipo k.

=

n₁ + n₂ + n₃ +….+ n_k ≤ n

Ejemplo 8: ¿Cuántas palabras adicionales con sentido o no se pueden formar con las letras de la palabra ANALISIS?

ANALISIS tiene 8 letras → n = 8

- Letra A → 2 veces → n₁ = 2

- Letra I → 2 veces → n₂ = 2

- Letra S → 2 veces → n₃ = 2

- Letra N → 1 vez → n₄ = 1

- Letra L → 1 vez → n₅ = 1

2 + 2 + 2 + 1 + 1 ≤ 8 (cumple)

 =

 = 5040

- Piden palabras adicionales:

5040 – 1 = 5039

COMBINACIONES

Son los diferentes grupos o subconjuntos que se forman con una parte o con todos los elementos de un conjunto determinado. Se debe tener en cuenta que para formar los grupos no interesa el orden de los elementos.

=

0 ≤ r ≤ n

PERMUTACIONES	COMBINACIONES
- Ordenamientos - Importa el orden	- Agrupaciones - No importa el orden

Ejemplo 9: ¿Cuántos delegados de 2 personas se pueden formar con grupos de 5 personas?

0 ≤ 2 ≤ 5

 =  →  =

 =  = 10

Ejemplo 10: De un grupo de 5 hombres y 3 mujeres, se escogerán 4 personas donde debe haber por lo menos 3 hombres. ¿De  cuantas maneras se elegirán las personas?

- 3 hombres de 5 y 1 mujer de 3

 =  = 10

 =  = 3

10 x 3 = 30 maneras

- 4 hombres de 5

 =  = 5

Total = 30 + 5 = 35 maneras

Combinaciones con Repeticiones:

=

Ejemplo 11: Con las letras A, B, C y D ¿Cuántas combinaciones de 2 elementos se podrán formar si se permiten repeticiones?

 =  =

 =  = 10

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si se tienen 5 libros A, B, C, D y E. ¿Cuál de las preguntas siguientes son Permutaciones?

I) ¿de cuantas maneras se pueden ubicar en un librero?

II) ¿de cuantas maneras se pueden ubicar en un librero donde solo pueden entrar 3 libros?

III) ¿de cuantas maneras se pueden escoger 3 libros?

a) I               b) II              c) III

d) I y II         e) II y III

2. Una persona para ir a su trabajo debe cambiarse de camisa y pantalón todos los días. Si tiene 5 camisas y 4 pantalones ¿de cuantas maneras podrá combinar su vestimenta?

a) 15            b) 18            c) 20

d) 22            e) 24

3. ¿Cuántos números enteros de hasta 4 cifras se podrán formar con los dígitos 1, 2, 3 y 4; si no se repiten los dígitos?

a) 44            b) 50            c) 54

d) 60            e) 64

4. Cuantos números enteros de hasta 4 cifras se podrán formar con los dígitos 1, 2, 3 y 4?

a) 320          b) 340          c) 350

d) 360          e) 365

5. ¿De cuantas maneras una persona deberá escoger una raspadilla si dispone de 5 sabores y debe escoger por lo menos 2 sabores y no mayor de 4 sabores?

a) 25            b) 30            c) 35

d) 36            e) 38

6. Con 5 palillos de igual tamaño y colores distintos de debe formar un pentágono. ¿De cuantas maneras diferentes formara el pentágono?

a) 24            b) 25            c) 26

d) 27            e) 28

7. En un ánfora hay 6 bolillas numeradas con numero par y 7 bolillas numeras con número impar. Si se extraen dos fichas a la vez y se tiene que la suma de los números en las bolillas es un número impar, ¿cuántas parejas de bolillas cumplen la condición?

a) 32            b) 38            c) 40

d) 42            e) 50

8. ¿De cuántas maneras diferentes 8 hombres y 3 mujeres pueden elegir 5 delegados cuyos miembros deben ser mixtos y de los electos debe haber por lo menos 3 hombres?

a) 325          b) 352          c) 378

d) 394          e) 428

9. Se desea repartir 10 monedas iguales 3 niños. Se puede dar el caso que uno o más niños no reciban moneda alguna, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá hacer la repartición?

a) 42            b) 54            c) 66

d) 78            e) 80

10. 4 niños y 4 niñas se sentarán alrededor de una mesa circular en 8 asientos distribuidos simétricamente. Si los niños y niñas siempre  están alternados; además Juan y María se sientan juntos. ¿De cuántas maneras diferentes podrán sentarse todos ellos?

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