28 Probabilidades

PROBABILIDADES

PROBABILIDADES

Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento.

Experimento Aleatorio (ε)

Es aquella prueba cuyo resultado no es predecible de forma absoluta.

- Lanzar una moneda y observar el resultado.

- Lanzar 1 dado y observar el resultado.

- Observar un encuentro de futbol del equipo A.

Experimento Determinístico: Se dice de un experimento realizado bajo las mismas condiciones presentan siempre los mismos resultados.

Espacio Muestral (Ω)

Es el conjunto de todos los resultados posible de un determinado experimento aleatorio.

Cada resultado posible de un experimento aleatorio es un elemento del espacio muestral y se le llama punto muestral.

- Lanzar una moneda:

Ω = {cara (C); sello (S)}

- Lanzar 1 dado:

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

- Observar un encuentro de futbol del equipo A:

Ω = {gana; empata; pierde}

Clasificación de los espacios Muéstrales

Discretos finitos: Consiste en un número finito de elementos.

Ω = {CC; CS; SC; SS}

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Discretos infinitos: Consiste en un número infinito de elementos numerables.

Se lanza una moneda las veces que sea necesaria para obtener CARA.

Ω = {C; SC; SSC; SSSC;….}

Continuos: Consiste en un número finito de elementos no numerables.

- Medir la vida útil (hora) de un artefacto eléctrico

Ω = {t ∈ R / t ≥ 0}

Suceso Elemental

Es cada uno de los elementos del espacio muestral. No es fácil encontrar este número para eso se utiliza la teoría combinatorio.

Ejemplo 1: ¿De cuantas maneras se pueden extraer tres cartas de una baraja de 52 cartas?

Se extraen:

 =   = 44200 maneras

SUCESO o EVENTO

Es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Se denota por letras mayúsculas: A; B; C;….

Un evento es un conjunto de sucesos.

Ejemplo 2: El espacio muestral al lanzar un dado es: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

A es un número par → A = {2; 4; 6}

B es un número impar → B = {1; 3; 5}

C (aparece 3) → C = {3}

D es un número primo → D = {2; 3; 5}

M (aparece en número menor que 7) → Posible

N (aparece en número mayor que 7) → Imposible

Tipos de Eventos

Evento seguro (Ω): Cuando el suceso es posible de ocurrir. Subconjunto M

Evento imposible (Φ): Cuando el suceso no es posible de ocurrir. Subconjunto N

Evento unitario o elemental: Es aquel que contiene un solo punto muestral.

Evento contrario: Sea el evento A, el suceso contrario es aquel que posee los puntos muéstrales que no posee A

Ejemplo 3: Un experimento que consiste en probar la vida útil de un foco incandescente de luz; donde UT = vida útil en horas.

Ω = {UT / UT ≥ 0}

- A (el foco dura dos días como máximo)

A = {0 ≤ UT ≤ 48}

- B (El foco dura por lo menos 10 horas)

B = {UT ≥ 10}

OPERACIONES CON EVENTOS

Se usa las operaciones de conjuntos para formar nuevos eventos, los cuales serán subconjuntos del espacio muestral.

Unión de Eventos

AUB = {x ∈ Ω / x ∈ A v x ∈ B}

Sean los eventos A y B → AUB es el evento que posee los casos cuando se dé uno de los dos.

Intersección de Eventos

A∩B = {x ∈ Ω / x ∈ A ˄ x ∈ B}

Sean los eventos A y B → A∩B es el evento que posee los casos cuando se dé A y B a la vez.

Diferencia de Eventos

A - B = {x ∈ Ω / x ∈ A ˄ x Ɇ B}

Sean los eventos A y B → A - B es el evento que posee los casos cuando se dé A y no B.

Eventos mutuamente excluyentes o disjuntos

A∩B = Φ

Sean los eventos A y B → A∩B es el evento que posee los casos cuando A y B no pueden ocurrir juntos.

Eventos complementarios

 = A^c = Ω - A

 Es el evento complementario de A

Eventos independientes

Los eventos A y B son independientes solo si la ocurrencia de A no afecta la ocurrencia de B.

Ejemplo 4: Sea el experimento lanzar un dado.

X = un número mayor que 3

Y = un número par

XUY = sale más de 3 o número par

X∩Y = sale más de 3 y número par

X – Y = sale más de 3 y no número par

Ejemplo 5: Sea el espacio muestral Ω:

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

A = {1; 3; 5}

 = {2; 4; 6}

Ejemplo 6: Se toma un examen cuya nota máxima es 20 y nota mínima 0.

X = Obtuvieron nota mayor que 10

X = {11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20}

Y = Obtuvieron nota menor que 10

Y = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

PRODUCTO CARTESIANO DE EVENTOS

A x B = {(x;y) / x ∈ A ˄ y ∈ B}

El evento A x B es el producto cartesiano de A y B que consiste en todos los pares ordenados de puntos muéstrales (x;y)

DEFINICION CLASICA DE PROBABILIDAD

La regla de Laplace o probabilidad a priori, dice que dado un espacio muestral finito Ω, en el que todos sus elementos tienen igual oportunidad de ocurrir, la probabilidad que ocurra A, se calcula:

P(A) = P(A) =

P(A) = probabilidad del evento A

A  Ω

Ejemplo 7: En un estante hay 4 libros de ciencias, 5 libros de literatura y 9 libros de historia. Si se selecciona un libro. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de ciencias?

Libro de ciencias → 4 posibilidades

En total hay 18 libros = 18 posibilidades

P(ciencia) =  =  =

Ejemplo 8: Hallar la probabilidad de que un número de 4 cifras sea capicúa.

- Sea Ω = todos los números de 4 cifras

Ω = {1000; 1001;…..; 9998; 9999}

n(Ω) = 9999 – 999 = 9000.

- Sea C el número capicúa pedido

C =

a → 9 números

b → 10 números

a x b = 90 números = n(C)

P(C) =  =  =  = 0.01

Propiedades de las Probabilidades

● Probabilidad del evento nulo:

Cuando la probabilidad del evento es imposible, es decir, es decir cuando la probabilidad del evento es 0.

P(Φ) = 0

Φ = evento nulo

Se lanza un dado → la probabilidad de que salga 7 es cero.

● Probabilidad del evento seguro:

Se dice que el evento es seguro cuando la probabilidad de que ocurra el evento es 1 es decir siempre ocurre.

P(Ω) = 1

Ω = evento seguro

Se lanza un dado → la probabilidad de que salga entre 0 y 7 es segura.

● Probabilidad del complemento:

Cuando no ocurre el evento A, es decir el contrario de A con respecto al espacio muestral.

P(A^c) = P(A`) = 1 – P(A)

La suma de las probabilidades de dos eventos contrarios es 1.

● Probabilidad de la Unión de Eventos:

Es la probabilidad de que ocurra el evento A o B.

P(A o B) = P(A∪B)

Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes (A∩B = Φ)

P(A∪B) = P(A) + P(B) - (A∩B)

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sean A y B dos eventos de un mismo espacio muestral; la probabilidad de ocurrencia del evento A cuando ya ocurrió B está dada por:

P(A/B) =

Regla de multiplicación para eventos independientes: Si A y B son eventos cualesquiera; la probabilidad de que A y B sucedan a la vez está dada por:

P(A∩B) = P(A/B) x P(B)

Ejemplo 9: Hallar P(A/B) si al lanzar un dado se define: A = {x; x ≥ 3}  y  B = {x; x es # primo}

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

A = {3; 4; 5; 6}

B = {2; 3; 5}

P(A/B) =  → P(A/B) =  →

SUCESOS INDEPENDIENTES

Cuando dos sucesos no se relacionan entre si se les llama sucesos independientes entonces se cumple:

P(A∩B) = P(A) x P(B)

Se le conoce también como regla de multiplicación para eventos independientes.

Ejemplo 10: Hallar la probabilidad de obtener 2 ases al extraer dos cartas en un juego de naipes, donde la primera carta extraída se devuelve a la baraja para poder extraer la otra.

A = se extrae una carta que es un As.

B = se extrae una carta que es un As.

Ambos sucesos son independientes uno del otro.

- La baraja de cartas tiene 52 elementos donde solo hay 4 ases.

P(A) =  =

P(B) =  =

- La probabilidad de obtener 2 ases:

P(A∩B) = P(A) x P(B) =  x  = 

TEOREMA DE LA VARIABLE TOTAL

Si el espacio muestral es particionado en los sucesos: B₁; B₂; B₃;…; B_k

Dónde: A ⊂ Ω

P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) +…+ P(Bk)P(A/Bk)

VARIABLE ALEATORIA

Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aun no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto. Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores. En términos formales una variable aleatoria es una función definida sobre un espacio de probabilidad.

Variable Aleatoria Discreta

Son variables que admiten distintos valores aislados de carácter cuantitativo.

Variable Aleatoria Continua

Son variables que admiten todos los valores de un intervalo y es de carácter cuantitativo.

Ejemplo 11: Se lanzan 3 monedas iguales. Hallar la posibilidad de al menos salga un sello en el lanzamiento de las 3 monedas.

- Al lanzar una moneda se puede obtener “c” o “s”.

- Espacio muestral al lanzar 3 monedas:

Ω = {ccc; scc; csc: ccs; ssc; scs; css; sss}

x = sellos obtenidos

- Posibilidad de obtener al menos un sello:

Ω = {ccc} → x = 0 → P(0) = nulo

Ω = {ccs; csc; scc} → x = 1 → P(1) = 3/8

Ω = {css; scs; ssc} → x = 2 → P(2) = 3/8

Ω = {sss} → x = 3 → P(3) = 1/8

P(1x3) = P(1) + P(2) + P(3)

P(1x3) = 3/8 + 3/8 + 1/8 = 7/8

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Una señora tiene en su monedero s/ 33 en 12 monedas de s/5; s/2 y s/1. Si 4 monedas son de s/5 ¿Cuál es la probabilidad de extraer de su monedero 2 monedas por un valor de s/4?

a) 2/33         b) 4/33         c) 5/33

d) 7/33         e) 8/33

2. Se lanza una moneda 3 veces.

A = {todos los eventos son iguales}

B = {Dos caras aparecen sucesivamente}

Los sucesos A y B son:

a) Complementarios    b) Excluyentes

c) Independientes        d) no disjuntos

e) NA

3. En una bolsa oscura hay 4 canicas negras; 2 canicas blancas y una canica roja. Hallar la probabilidad de extraer una canica blanca o roja.

a) 2/7           b) 3/7           c) 4/7

d) 5/7           e) 6/7

4. Se lanzan 2 dados. Hallar la probabilidad de obtener el mismo número en cada dado.

a) 1/4           b) 1/5           c) 1/6

d) 2/3           e) 3/5

5. De un grupo de personas conformado por 2 jóvenes, 5 adultos y 3 ancianos, se elige al azar una persona para dar una conferencia. Hallar la probabilidad de que la persona elegida no sea un joven.

a) 1/5           b) 1/2           c) 3/10

d) 7/10         e) 3/5

6. Hallar P(A∩B) al lanzar un dado perfecto, se definen los eventos:

A = {x/2 ≤ x ≤ 4}

B = {x/ es impar}

a) 1/2           b) 1/3           c) 1/4

d) 1/5           e) 0

7. Al lanzar 2 dados, hallar la probabilidad de obtener un puntaje mayor a 9.

a) 1/9           b) 1/6           c) 2/3

d) 3/36         e) 5/36

8. Al extraer 1 bolas de una urna se obtuvo una bola roja; si la bola extraída no se devuelve y en la urna hay 5 bolas rojas, 7 azules y 3 verdes. Hallar la probabilidad que la siguiente bola extraída sea roja.

a) 2/15         b) 2/7           c) 2/5

d) 3/7           e) 3/5

9. Si: P(B) = 0,2 y P(A∩B) = 0,06

Hallar la probabilidad de que ocurra B cuando ya ocurrió A.

a) 0,03         b) 0,09         c) 0,15

d) 0,2           e) 0,3

10. Hallar P(A∩B), si:

P(AUB) - P(A∩B) = 0,3

P(A) = 0,6 y P(B) = 0,7

a) 0,3           b) 0,35         c) 0,45

d) 0,5           e) 0,6

11. Hallar la probabilidad de no obtener el numero 3 al lanzar “n” veces un dado.

a) ( )ⁿ            b) ( )ⁿ           c) (1 - )ⁿ

d) ( )ⁿ     e) (1 - )ⁿ

12. Se eligen al azar y sin sustitución 4 números de un grupo de 6 números positivos y 8 números negativos. Hallarla probabilidad de que el producto de los 4 números elegidos sea par.

a) 0,4045      b) 0,4054      c) 0,5045

d) 0,5054      e) 0,6045

13. En una urna hay 3 bolas rojas y 2 bolas azules. Cuatro personas en ese orden extraen 1 bola sin devolver a la urna. Hallar la probabilidad de que la última persona obtenga una bola azul sin que las anteriores personas lo obtengan.

a) 1/20         b) 1/15         c) 1/10

d) 1/5           e) 2/5

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