19 Porcentajes - Tanto por cuanto

PORCENTAJES - TANTO POR CUANTO

PORCENTAJES

El porcentaje es un símbolo matemático, que representa una cantidad dada como una fracción en 100 partes iguales. También se le llama comúnmente tanto por ciento donde por ciento significa «de cada cien unidades.

REGLA DEL TANTO POR CUANTO

Es un procedimiento que permite determinar que tanto representa una cantidad con respecto a otro llamado cuánto.

El m por n de A <> A

m = tanto

n = cuanto

El 4 por 9 de 3600 → (3600) = 1600

El 8 por 15 de 135 → (135) = 72

Ejemplo 1: En un salón de clases hay 60 alumnos. Las niñas representan el 2 por 5 del total. Si 5 de cada 9 niños usan lentes. ¿Cuántos niños no usan lentes?

- Total = 60 alumnos entre niñas y niños.

- Niñas: (60) = 24

- Niños: 60 – 24 = 36

- Niños que usan lentes: (36) = 20

- Niños que no usan lentes: 36 – 20 = 16

CASOS PARTICULARES

TANTO POR MIL (‰):

La expresión de un número por mil es una manera de expresarlo como una fracción de 1000, o como la décima parte de un porcentaje.

El 5 por mil de 400 → (400) = 2

El 8 por mil de 1500 → (1500) = 12

TANTO POR CIENTO (%)

Se denomina al número de partes que se consideran de las 100 partes iguales en que se ha dividido una cantidad.

A% de N = N

20% de 400 = (400) = (400) = 80

75% de 900 = (900) = (900) = 675

45% de 500 = (500) = 225

65% de 400 = (400) = 260

Ejemplo 2: Se llevan a vender 2000 huevos, pero en el camino se rompieron el 10%. Del resto solo se vendió el 60% a medio sol c/u. ¿Cuánto dinero se obtuvo?

Total = 2000 huevos

- Huevos rotos: (2000) = 200

- Huevos para venta: 2000 – 200 = 1800

- Huevos vendidos: (1800) = 1080

- Se obtuvo: 1080 x 0,5 = 540 soles

PORCENTAJES

Es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una cantidad.

- El 20% de 400 = 20%(400) = 80

- 15%(50) = 7,5

OJO: Al aplicar el % no siempre dará un resultado entero.

- ¿Qué tanto por ciento de 120 es 30?

(100%) = 25%

- ¿Qué tanto por ciento de 120 es 180?

(100%) = 150%

OJO: Cuando la cantidad es mayor a la cantidad de referencia, el tanto por ciento resultante será mayor que 100%

Algunas de equivalencias al expresar el tanto por ciento como fracción.

5% <>  <>

10% <>  <>

20% <>  <>

40% <>  <>

50% <>  <>

75% <>  <>

12,5% <> (25%) <> ( ) =

37,5% <> 3(12,5%) <> 3( ) <>

33, % <>  <>

66, % <> 2(33, %) <> 2( ) <>

200% <> 2(100%) <> 2

500% <> 5(100%) <> 5

600% <> 6(100%) <> 6

Ejemplo 3: Sea A el 25% de C y B el 50% de C. ¿Qué parte de B es A?

A es 25% de C <> A = ( )C → C = 4A

B es 50% de C <> B = ( )C → C = 2B

4A = 2B → A =

A es la mitad de B

OPERACIONES CON EL TANTO POR CIENTO

A%N + B&N = (A + B)%N

Ejemplo 4: 15%(200) + 20%(200)

○ Solución 1:

15%(200) + 20%(200) = 35%(200)

(200) = 70

○ Solución 2:

(200) + (200)

30 + 40 = 70

N + A%N = (100 + A)%N

100%N = N

Ejemplo 5: Cierto juguete cuesta en octubre s/ 50 pero costara un 20% más para navidad. ¿Cuál es el precio del juguete en navidad?

- Sea P el precio del juguete en navidad.

P = 50 + 20%(50)

P = 50 + 10 = s/60

A%N - B&N = (A - B)%N

Ejemplo 6: 27%(200) - 7%(200)

○ Solución 1:

27%(200) - 7%(200) = 20%(200)

(200) = 40

○ Solución 2:

(200) - (200)

54 - 14 = 40

N - A%N = (100 - A)%N

100%N = N

Ejemplo 7: Una tienda ofrece un descuento de 20% sobre los precios de sus artefactos de cocina. Un cliente adquiere una cocina cuyo precio de tienda es s/ 600. ¿Cuánto pago el cliente?

Precio de venta = s/ 600

600 – 20%(600) = 100%(600) – 20%(600)

80%(600) =  (600) = 480

Paga = s/ 480

A x (B%N) = (A x B)%N

4(30%N) = (4 x 30)%N = 120%N

3,5(2%N) = (3,5 x 2)%N = 7%N

El A% del B% del C% de N es A%B%C%N

Ejemplo 8: Si el 15% del 20% de 5N es sumado al 30% del 50% de 2N se obtiene 540. Hallar N

15%20%(5N) + 30%50%(2N) = 540

15%(100%N) + 30%(100%N) = 540

- Recordar: 100%N = N

15%N = 30%N = 540

45%N = 540 → N = 540

N = 1200

Ejemplo 9: Si el lado de un cuadrado aumenta un 50% en cuanto variara su área.

- Inicialmente:

Lado = L

Área = L² → como 100% = 1

Área = L² = 100%L²

- Aumento:

Lado = L + 50%L = 100%L + 50%L = 150%L

Área = (150%L)² = ((15 x 100)%L)²

Área = (15(100%)%L)²

Área = (15%L)² = 225%L²

Aumenta en = 225%L² - 100%L² = 125%

OTRA FORMA:

Asumimos que el lado original es como 10; entonces el área inicial será como 100.

Si se aumente un 50% en su lado original:

50% de 10 = 5

L = 10 + 5 = 15

Área = 15² = 225

Aumento en %: 225 – 100 = 125%

APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO

DESCUENTOS SUCESIVOS:

Son descuentos que se efectúan uno a continuación de otros; considerando como el nuevo 100% a la cantidad que va quedando.

Para dos descuentos sucesivos:

Du = (D1 + D2 - )%

Du = Descuento único

D₁ = 1er descuento

D₂ = 2do descuento

Para “n” descuentos sucesivos:

Du = [100 - ]%

Ejemplo 10: Si a una TV cuyo costo es $300. Se le aplica dos descuentos sucesivos de 20% y 10%. Hallar su valor final.

- Hallamos el descuento único:

Du = (D₁ + D₂ - )%

Du = (20 + 10 - 2)% = 28%

- Descuento: (300) = 84

- Precio final: 300 – 84 = $ 216

OTRA FORMA:

- Precio inicial: $ 300

- Existen 2 descuentos.

1er descuento: ( )300 = 60

Precio 1 = 300 – 60 = 240

2dor descuento: ( )240 = 24

Precio 2 = 240 – 24 = 216

Precio de venta = $ 216

AUMENTOS SUCESIVOS:

Son aumentos que se efectúan uno a continuación de otros; considerando como el nuevo 100% a la cantidad que va quedando.

Para dos aumentos sucesivos:

Au = (A1 + A2 + )%

Au = Descuento único

A₁ = 1er descuento

A₂ = 2do descuento

Para “n” aumentos sucesivos:

Au = [  - 100]%

Ejemplo 11: Si a una TV cuyo costo es $240 y tiene dos aumentos sucesivos de 20% y 25%. Hallar su valor final.

- Hallamos el descuento único:

Au = (A₁ + A₂ + )%

Au = (20 + 25 + )% = 50%

- Aumento: (240) = 120

- Precio final: 240 + 120 = $ 360

APLICACIONES COMERCIALES DEL TANTO POR CIENTO

Pv = Pc + G

Precio de costo (Pc): es el gasto económico que representa la fabricación de un producto o la prestación de un servicio.

Precio de venta (Pv): Es el valor de la venta de un bien es el precio de costo más una cantidad llamada ganancia (G) o utilidad.

Ganancia (G): muchas veces se representan como el tanto por ciento del Pv y/o Pc.

GB = Pv - Pc

G_B = Ganancia bruta

G_N = Ganancia neta

Precio fijado (P_f) o precio de Lista (P_L): Es el precio fijado para la venta al cual se le realiza un descuento (D) para obtener el Pv.

Pv = PL - D

Perdida (P): Cuando se realiza una venta a menor precio que el Pc se origina una perdida.

Pv = Pc - P

● Si hay ganancias:

Pv = P_f - D

G_B = G_N + Gastos

● Si no hay ganancias ni perdidas:

Pv = Pc

● Pv ≠  P_f

Pc = P_f - D

P_f  = Pc + G

Nota:

- Las ganancias se representan como el tanto por ciento del precio de costo.

- Los descuentos se representan como el tanto por ciento del precio fijado.

Ejemplo 12: Al fijar el precio de lista de un artículo se aumentó su costo en 40% y al venderse se rebajó un 25%. Si sus gastos fueron el 2% del precio del costo. ¿Qué tanto por ciento del costo se ganó?

Precio de costo = Pc

Precio de lista = P_L

- Dato:

P_L = Pc + 40%Pc

P_L = 140%Pc (I)

Pv = P_L – 25% P_L

Pv = 75% P_L  (II)

- (I) en (II):

Pv = 75%(140%Pc)

Pv = ( Pc)

Pv = 105%Pc

- Dato:

G_B = G_N + Gastos

G_B = G_N + 2%PC  (III)

G = Pv - Pc

G_B = 105%Pc - Pc

G_B = 5%Pc  (IV)

- (IV) en (II):

5%Pc = G_N + 2%PC

G_N = 3%Pc

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.  ¿Qué tanto por ciento de 156 es 39?

a) 25%         b) 28%         c) 32%

d) 35%         e) 38%

2. Si la longitud de una circunferencia aumenta en 40%, entonces su área:

a) aumenta 40%     b) aumenta 44%    

c) aumenta 69%     d) aumenta 80%    

e) aumenta 96%

3. En el grafico se muestran los gastos de un país. Si del sector educación, el 25% están destinados para infraestructura en educación. ¿Cuántos grados corresponden al “infraestructura en educación?

a) 18º           b) 20º           c) 25º

d) 36º           e) 42º

4. ¿a qué Du equivalen los descuentos sucesivos de 25%, 30% y 60%?

a) 66%         b) 72%         c) 79%

d) 82%         e) 86%

5. ¿a qué Au equivalen los aumentos sucesivos de 25%, 30% y 60%?

a) 155%       b) 160%       c) 168%

d) 170%       e) 175%

6. En una fiesta hay 200 personas donde existen 70% de mujeres. ¿Cuántas parejas deben aumentarse para que el número de hombres sea el 60% de las mujeres?

a) 5              b) 6              c) 7

d) 8              e) 9

7. El alquiler de un departamento aumenta en 10% cada 2 años. Si al inicio del 5to año se paga s/ 3630. ¿Cuánto se pagó el 1er año?

a) s/2900      b) s/2950      c) s/3000

d) s/3050      e) s/3100

8. Al precio de una Laptop se le hace descuentos consecutivos de 20%, 25% y 20%; luego al valor resultante se le hace aumentos consecutivos de 20%, 25% y 20% resultando un valor que se diferencia del precio original en s/204. Hallar el precio inicial.

a) s/1100      b) s/1200      c) s/1300

d) s/1400      e) s/1500

9. El dinero de A excede al de B y equivale al 20% de C; el dinero de B excede al de C y equivale al 10% de A. Si A tiene s/400, hallar el dinero de B.

a) s/310        b) s/320        c) s/330

d) s/340        e) s/350

10. Un comerciante adquiere 500 camisas a s/10 c/u y los vende con un beneficio del 40%. Si los gastos adicionales es el 25% del beneficio neto. Hallar el valor de beneficio neto.

a) s/1550      b) s/1600      c) s/1650

d) s/1700      e) s/1750

11. Si la base de un triángulo disminuye en 20% y la base aumenta un 30%, el área varia en 0,3 m². Calcule el área original.

a) 7,5m²       b) 8m²                    c) 8,5m²

d) 9m²                    e) 9,5m²

12. Un comerciante adquiere un producto con un aumento del 10% de su precio y lo vende con un descuento del 10%. Hallar el % de ganancia o pérdida del comerciante con respecto al precio original.

a) gana 10% b) gana 11% c) pierde 10%

d) pierde 11%         e) No gana ni pierde

13. Se adquiere un TV y se vende a s/840, se gana el 14% del precio de compra más el 5% del precio de venta. Hallar el precio compra del TV

a) s/700        b) s/720        c) s/740

d) s/750        e) s/780

14. De un tonel lleno de vino, se extraen 6 litros de vino y se reemplaza por agua. Luego se extrae el 25% de la mezcla y es reemplazado por agua, quedando en el tonel 138 Litros de vino. Hallar el volumen inicial de vino.

a) 180 litros  b) 185 litros  c) 190 litros

d) 195 litros  e) 200 litros

15. De un recipiente de Alcohol, se retiró el 25% de lo que no se retiró y de lo que se retira se devuelve el 25% de lo que no se devuelve, y queda 42 litros de alcohol. ¿Cuántos litros de Alcohol no se devuelve?

a) 10 litros    b) 11 litros    c) 12 litros

d) 9 litros      e) 8 litros

16. Un artículo cuesta s/120, si se hace un descuento del 20% y la ganancia es el 10% del precio de costo. ¿Cuál es el precio fijado para su venta?

a) s/155        b) s/160        c) s/165

d) s/170        e) s/175

17. En la tienda 1 se vende un artefacto con un 20% de descuento sobre su precio. En la tienda 2 se vende un artefacto con un 25% de descuento sobre su precio. Si se compra en la tienda 2 y se obtiene un ahorro de s/ 30. Hallar el precio del artefacto.

a) s/575        b) s/600        c) s/650

d) s/675        e) s/700

18. Una pelota se vende recargándose el x% del precio del costo, al venderlo le rebajan en y%. Hallar Y si en la venta de la pelota no se ganó ni perdió.

a) 100/(100 + x)      b) 100x/(100 + x)

c) x/(100 + x)

d) 100/(100 – x)      e) 100x/(100 – x)

19. EXAMEN SAN MARCOS. ¿Qué tanto por ciento del 50% de 0,005 es 0,01?

a) 400%       b) 40%         c) 4%

d) 0,4%        e) 0.04%

20. EXAMEN SAN MARCOS. El año pasado, un empresario invirtió $30000 en dos negocios. Si obtuvo utilidades del 15% en el primero, perdió el 5% en el segundo y la utilidad total fue el 12% del capital inicial, halle la cantidad invertida en el primer negocio.

a) $21000     b) $17550     c) $24250

d) $27500     e) $25500

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